← গণিত টপিকসমূহ | সকল বিষয়ের প্রস্তুতি
সংখ্যা পদ্ধতি, ল.সা.গু ও গ.সা.গু
গণিতের পুরো ভবনটি দাঁড়িয়ে আছে একটি ভিতের উপর — সংখ্যা। শতকরা, অনুপাত, সুদ, সময়-কাজ — সব অধ্যায়েই সংখ্যার আচরণ জানা লাগে। তাই এই অধ্যায়টি ভালো করে বুঝলে গণিতের বাকি অংশ অনেক সহজ হয়ে যায়। এখানে আমরা শুরু করব একেবারে গোড়া থেকে — অঙ্ক ও স্থানীয় মান — এবং শেষ করব ল.সা.গু, গ.সা.গু ও ভাগশেষ-সংক্রান্ত জটিল প্রশ্ন দিয়ে, প্রতিটি ধাপ ব্যাখ্যাসহ।
এই পাঠটি এমনভাবে লেখা যেন আলাদা কোনো বই না লাগে। প্রতিটি সূত্রের পেছনের কারণ দেওয়া আছে, প্রতিটি পদ্ধতির উদাহরণ ধাপে ধাপে দেখানো আছে, এবং শেষে ১০০+ MCQ ব্যাখ্যাসহ দেওয়া আছে যাতে আপনি নিজেই যাচাই করতে পারেন।
সংখ্যা, অঙ্ক ও স্থানীয় মান
আমরা প্রতিদিন যে সংখ্যা ব্যবহার করি তা দশমিক পদ্ধতির (base-10) — কারণ এতে মাত্র ১০টি প্রতীক দিয়ে যেকোনো সংখ্যা লেখা যায়।
- অঙ্ক (Digit): ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯ — মোট ১০টি অঙ্ক। এগুলো দিয়েই সব সংখ্যা গঠিত।
- সংখ্যা (Number): এক বা একাধিক অঙ্ক পাশাপাশি বসিয়ে গঠিত পরিমাণ-প্রকাশক প্রতীক। সংখ্যা অসীম, কিন্তু অঙ্ক মাত্র ১০টি।
- স্বকীয় মান (Face value): অঙ্কটির নিজস্ব মান, অবস্থান নির্বিশেষে। যেমন ৫৩৭-এ ৩-এর স্বকীয় মান ৩।
- স্থানীয় মান (Place value): অঙ্কটি কোন ঘরে বসেছে তার উপর নির্ভর করে। ৫৩৭-এ ৩ আছে দশকের ঘরে, তাই এর স্থানীয় মান = ৩ × ১০ = ৩০।
সংখ্যার প্রকারভেদ
সংখ্যাগুলোকে বিভিন্ন শ্রেণিতে ভাগ করা হয়। এই শ্রেণিগুলো একে অপরের ভেতরে থাকে — যেমন সব স্বাভাবিক সংখ্যাই পূর্ণসংখ্যা, সব পূর্ণসংখ্যাই মূলদ, সব মূলদই বাস্তব।
| প্রকার | সংজ্ঞা | উদাহরণ |
|---|---|---|
| স্বাভাবিক (Natural) | ১ থেকে শুরু, গণনার সংখ্যা | ১, ২, ৩, ৪, ... |
| পূর্ণ (Whole) | ০ সহ স্বাভাবিক সংখ্যা | ০, ১, ২, ৩, ... |
| অখণ্ড (Integer) | ধনাত্মক, ঋণাত্মক ও ০ | ..., −২, −১, ০, ১, ২, ... |
| মূলদ (Rational) | p/q আকারে লেখা যায় (q≠0) | ১/২, ৩/৪, ৫, −৩, ০.৩৩৩... |
| অমূলদ (Irrational) | p/q আকারে লেখা যায় না | √২, √৩, π, e |
| বাস্তব (Real) | মূলদ + অমূলদ | সংখ্যারেখার সব বিন্দু |
| জটিল (Complex) | a + bi আকারে | ২+৩i, −১+৪i |
| মৌলিক (Prime) | ঠিক দুটি ভাজক — ১ ও নিজে | ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ... |
| যৌগিক (Composite) | দুইয়ের বেশি ভাজক আছে | ৪, ৬, ৮, ৯, ১০, ... |
| জোড় (Even) | ২ দ্বারা বিভাজ্য | ০, ২, ৪, ৬, ... |
| বিজোড় (Odd) | ২ দ্বারা বিভাজ্য নয় | ১, ৩, ৫, ৭, ... |
| সহমৌলিক (Co-prime) | দুই সংখ্যার গ.সা.গু = ১ | ৮ ও ৯; ১৪ ও ১৫ |
- ‘০’ একটি পূর্ণ সংখ্যা ও অখণ্ড সংখ্যা, কিন্তু স্বাভাবিক সংখ্যা নয়। ‘০’ ধনাত্মকও নয়, ঋণাত্মকও নয়।
- ‘১’ মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয় (কারণ এর মাত্র একটি ভাজক)।
- ‘২’ একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা — বাকি সব মৌলিক বিজোড়।
- দুটি সহমৌলিক সংখ্যা নিজে মৌলিক না-ও হতে পারে (যেমন ৮ ও ৯ কেউই মৌলিক নয়, তবু সহমৌলিক)।
মৌলিক সংখ্যা গভীরভাবে
মৌলিক সংখ্যা হলো ১-এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা যার ভাজক ঠিক দুটি — ১ ও সংখ্যাটি নিজে। মৌলিক সংখ্যা গণিতের ‘পরমাণু’ — কারণ প্রতিটি বড় সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে লেখা যায় (একে বলে মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ)।
কোনো সংখ্যা মৌলিক কিনা কীভাবে পরীক্ষা করবেন
একটি সংখ্যা n মৌলিক কিনা জানতে √n পর্যন্ত সব মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে দেখুন। কোনোটি দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য না হলে n মৌলিক। এতটুকু পরীক্ষাই যথেষ্ট, কারণ কোনো ভাজক √n-এর বড় হলে তার জোড়া-ভাজক অবশ্যই √n-এর ছোট হবে।
গুরুত্বপূর্ণ গণনা
- ১ থেকে ১০০-এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ২৫টি: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।
- ১ থেকে ১০০০-এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ১৬৮টি।
- বৃহত্তম দুই অঙ্কের মৌলিক ৯৭; ক্ষুদ্রতম দুই অঙ্কের মৌলিক ১১; বৃহত্তম তিন অঙ্কের মৌলিক ৯৯৭।
- যমজ মৌলিক (Twin primes): পার্থক্য ২, যেমন (৩,৫), (৫,৭), (১১,১৩), (১৭,১৯)।
বিভাজ্যতার নিয়ম (Divisibility Rules)
বড় সংখ্যাকে ভাগ না করেই বলা যায় সেটি কোন সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য কিনা — এই নিয়মগুলো গ.সা.গু, ল.সা.গু ও মৌলিক পরীক্ষায় অপরিহার্য।
| দ্বারা | নিয়ম | উদাহরণ |
|---|---|---|
| ২ | একক অঙ্ক জোড় (০,২,৪,৬,৮) | ১২৪ ✓ |
| ৩ | অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য | ১২৩ → ৬ ✓ |
| ৪ | শেষ দুই অঙ্ক ৪ দ্বারা বিভাজ্য | ১৩৫২৪ → ২৪ ✓ |
| ৫ | একক অঙ্ক ০ বা ৫ | ২৫০, ৭৫ ✓ |
| ৬ | ২ ও ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য | ১২৬ ✓ |
| ৭ | একক অঙ্ককে ২ দিয়ে গুণ করে বাকি অংশ থেকে বিয়োগ করলে ফল ৭ দ্বারা বিভাজ্য | ১৬১ → ১৬−২=১৪ ✓ |
| ৮ | শেষ তিন অঙ্ক ৮ দ্বারা বিভাজ্য | ৭১২৩৪৪ → ৩৪৪ ✓ |
| ৯ | অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য | ২৩৪ → ৯ ✓ |
| ১০ | একক অঙ্ক ০ | ৪২০ ✓ |
| ১১ | বিজোড় ও জোড় স্থানের অঙ্কযোগফলের পার্থক্য ০ বা ১১-এর গুণিতক | ৯০৯ → (৯+৯)−০=১৮? না; ১২১ → (১+১)−২=০ ✓ |
| ১২ | ৩ ও ৪ উভয় দ্বারা বিভাজ্য | ৩৬০ ✓ |
| ২৫ | শেষ দুই অঙ্ক ০০, ২৫, ৫০, ৭৫ | ৬২৫ ✓ |
ভাজক গণনা ও সমষ্টি
মৌলিক উৎপাদক জানা থাকলে কোনো সংখ্যার মোট ভাজক (গুণনীয়ক) কতটি তা না গুণে বলা যায়।
মোট ভাজক সংখ্যা = (p+১)(q+১)(r+১)...
কারণ প্রতিটি মৌলিক উৎপাদক ০ থেকে তার সর্বোচ্চ ঘাত পর্যন্ত বসতে পারে — a-এর জন্য (p+১) উপায়, b-এর জন্য (q+১) উপায়, ইত্যাদি।গ.সা.গু ও ল.সা.গু
গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক / HCF / GCD)
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ ভাজকগুলোর মধ্যে বৃহত্তমটিই গ.সা.গু। সহজ কথায়, যে সবচেয়ে বড় সংখ্যা দিয়ে প্রতিটি সংখ্যাকে নিঃশেষে ভাগ করা যায়।
পদ্ধতি ১ — মৌলিক উৎপাদক
প্রতিটি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক লিখে সাধারণ উৎপাদকগুলোর সর্বনিম্ন ঘাত নিয়ে গুণ করুন।
পদ্ধতি ২ — ইউক্লিডের ভাগ পদ্ধতি (বড় সংখ্যায় দ্রুত)
বড় সংখ্যাকে ছোট দিয়ে ভাগ করুন; ভাগশেষ দিয়ে আবার আগের ভাজককে ভাগ করুন; ভাগশেষ ০ হলে শেষ ভাজকই গ.সা.গু।
ল.সা.গু (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক / LCM)
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতমটিই ল.সা.গু — যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে প্রতিটি সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায়।
পদ্ধতি — মৌলিক উৎপাদক
প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাত নিয়ে গুণ করুন (গ.সা.গু-তে সর্বনিম্ন, ল.সা.গু-তে সর্বোচ্চ — এই পার্থক্যটাই মূল)।
HCF × LCM সম্পর্ক ও ভগ্নাংশের গ.সা.গু / ল.সা.গু
গ.সা.গু × ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল
অর্থাৎ HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b। সতর্কতা: এটি কেবল দুটি সংখ্যার জন্য সত্য, তিন বা ততোধিক সংখ্যার জন্য নয়।ভগ্নাংশের গ.সা.গু ও ল.সা.গু
ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে সূত্র দুটি উল্টো মনে হলেও যুক্তিসঙ্গত:
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু / হরগুলোর ল.সা.গু
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু
ভাগশেষ সংক্রান্ত সমস্যা (তিন ছাঁচ)
পরীক্ষায় ভাগশেষ নিয়ে যত প্রশ্ন আসে তা মূলত এই তিন ছাঁচের একটি। ছাঁচ চিনলে সমাধান স্বয়ংক্রিয়।
ছাঁচ ১ — "সব ক্ষেত্রে একই ভাগশেষ r"
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা কয়েকটি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে প্রতিবার একই ভাগশেষ r থাকে = ল.সা.গু + r।
ছাঁচ ২ — "সব ক্ষেত্রে ভাজকের সমান কম" (ভাগশেষের পার্থক্য স্থির)
যদি ৬-এ ৪, ৮-এ ৬, ১০-এ ৮ ভাগশেষ থাকে — লক্ষ্য করুন প্রতিবার ভাজক থেকে ২ কম। তখন উত্তর = ল.সা.গু − সাধারণ পার্থক্য।
ছাঁচ ৩ — "বৃহত্তম সংখ্যা যা ভাগ করলে নির্দিষ্ট ভাগশেষ" (গ.সা.গু-র প্রয়োগ)
এখানে প্রতিটি সংখ্যা থেকে তার ভাগশেষ বিয়োগ করে গ.সা.গু নিন।
ধারার যোগফলের সূত্র
| ধারা | সূত্র |
|---|---|
| ১ + ২ + ৩ + ... + n | n(n+১)/২ |
| ১² + ২² + ... + n² | n(n+১)(২n+১)/৬ |
| ১³ + ২³ + ... + n³ | [n(n+১)/২]² |
| প্রথম n বিজোড় সংখ্যার যোগ (১+৩+৫+...) | n² |
| প্রথম n জোড় সংখ্যার যোগ (২+৪+৬+...) | n(n+১) |
(১ + ২ + ... + n) + (n + ... + ২ + ১) = প্রতিটি জোড়া (n+১), মোট n জোড়া = n(n+১)।
এটি দ্বিগুণ যোগফল, তাই আসল যোগফল = n(n+১)/২।
ফ্যাক্টোরিয়াল ও শেষের শূন্য
n! = n × (n−১) × ... × ২ × ১; সংজ্ঞানুযায়ী ০! = ১। কোনো ফ্যাক্টোরিয়ালের শেষে কতটি শূন্য থাকবে তা নির্ভর করে এতে ৫-এর গুণিতক কতবার আছে তার উপর: শূন্য সংখ্যা = [n/৫] + [n/২৫] + [n/১২৫] + ...
ধাপে ধাপে সমাধানসহ উদাহরণ
সাধারণ ভুল ও সতর্কতা
- গ.সা.গু ও ল.সা.গু উল্টে ফেলা: "একসাথে/আবার কখন" = ল.সা.গু; "সর্বোচ্চ যা সবাইকে ভাগ করে / সর্বোচ্চ মাপ" = গ.সা.গু। প্রশ্নের ভাষা দেখে ঠিক করুন।
- HCF×LCM নিয়ম তিন সংখ্যায় খাটানো: এটি কেবল দুটি সংখ্যার জন্য প্রযোজ্য।
- ১ কে মৌলিক ধরা: ১ মৌলিক নয়; ক্ষুদ্রতম মৌলিক ২।
- ৫১, ৫৭, ৯১ কে মৌলিক ভাবা: এগুলো যৌগিক — সবসময় ৭ ও ৩ দিয়ে যাচাই করুন।
- ভাজক গণনায় ঘাত ভুল করা: সূত্রে (ঘাত + ১) নিতে হয়, শুধু ঘাত নয়।
- ০ ও ১ নিয়ে বিভ্রান্তি: ০ পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু স্বাভাবিক নয়; ১ মৌলিকও নয় যৌগিকও নয়।
দ্রুত সমাধানের কৌশল
- মৌলিক পরীক্ষা: শুধু √n পর্যন্ত মৌলিক দিয়ে ভাগ করুন — বেশি ভাগ করার দরকার নেই।
- ভাগ পদ্ধতিতে ল.সা.গু: সংখ্যাগুলো এক সারিতে লিখে ছোট মৌলিক দিয়ে ধারাবাহিক ভাগ করুন; সব ভাজক ও শেষ সারির গুণফলই ল.সা.গু।
- বড় সংখ্যায় গ.সা.গু: ইউক্লিডের ভাগ পদ্ধতি মৌলিক উৎপাদকের চেয়ে দ্রুত।
- ভাজক সংখ্যা: মৌলিক উৎপাদক করে ঘাতগুলোতে ১ যোগ করে গুণ করুন।
- একই ভাগশেষ: "ল.সা.গু + ভাগশেষ" মনে রাখুন; ভাজক থেকে সমান কম হলে "ল.সা.গু − পার্থক্য"।
সূত্র ও তথ্যের সারসংক্ষেপ
- অঙ্ক ১০টি (০–৯); সংখ্যা অসীম। ০ পূর্ণ কিন্তু স্বাভাবিক নয়; ১ মৌলিক নয়।
- ১–১০০ এ মৌলিক ২৫টি; ১–১০০০ এ ১৬৮টি; ২ একমাত্র জোড় মৌলিক।
- ফাঁদ যৌগিক: ৫১, ৫৭, ৮৭, ৯১, ১১৯।
- ভাজক সংখ্যা = (p+১)(q+১)... ; পূর্ণবর্গের ভাজক সংখ্যা বিজোড়।
- গ.সা.গু = সাধারণ উৎপাদকের সর্বনিম্ন ঘাত; ল.সা.গু = সর্বোচ্চ ঘাত।
- গ.সা.গু × ল.সা.গু = a × b (শুধু দুই সংখ্যায়)।
- ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবের ল.সা.গু / হরের গ.সা.গু; গ.সা.গু = লবের গ.সা.গু / হরের ল.সা.গু।
- একই ভাগশেষ r → ল.সা.গু + r; সমান কম → ল.সা.গু − পার্থক্য; নির্দিষ্ট ভাগশেষে সর্বোচ্চ ভাজক → (সংখ্যা−ভাগশেষ)-এর গ.সা.গু।
- ১+২+...+n = n(n+১)/২; বিজোড়ের যোগ = n²; জোড়ের যোগ = n(n+১)।
- n! এর শেষ শূন্য = [n/৫]+[n/২৫]+...; ০! = ১।
প্রশ্ন ও উত্তর (১০০+ MCQ)
১. ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা কোনটি?
(ক) ০ (খ) ১ (গ) ২ (ঘ) ৩
উত্তর: (গ) ২
২. একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা?
(ক) ০ (খ) ২ (গ) ৪ (ঘ) ৬
উত্তর: (খ) ২
৩. ১–১০০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি?
(ক) ২৩ (খ) ২৪ (গ) ২৫ (ঘ) ২৬
উত্তর: (গ) ২৫টি
৪. ‘০’ কোন ধরনের সংখ্যা?
(ক) স্বাভাবিক (খ) পূর্ণ (গ) মৌলিক (ঘ) ঋণাত্মক
উত্তর: (খ) পূর্ণ (Whole)
০ স্বাভাবিক নয়; ধনাত্মক-ঋণাত্মক কোনোটিই নয়।
৫. ‘১’ কি মৌলিক?
(ক) হ্যাঁ (খ) না (গ) যৌগিক (ঘ) জোড়
উত্তর: (খ) না
মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয়।
৬. √২ কোন ধরনের সংখ্যা?
(ক) মূলদ (খ) অমূলদ (গ) পূর্ণ (ঘ) মৌলিক
উত্তর: (খ) অমূলদ
৭. π-এর আসন্ন মান?
(ক) ৩.১৪ (খ) ২.৭১ (গ) ১.৬১ (ঘ) ১.৪১
উত্তর: (ক) ৩.১৪১৫৯...
৮. √২-এর আসন্ন মান?
(ক) ১.২ (খ) ১.৪১ (গ) ১.৭৩ (ঘ) ২
উত্তর: (খ) ১.৪১৪
৯. ২৪ ও ৩৬-এর গ.সা.গু?
(ক) ৬ (খ) ১২ (গ) ১৮ (ঘ) ২৪
উত্তর: (খ) ১২
১০. ২৪ ও ৩৬-এর ল.সা.গু?
(ক) ৭২ (খ) ১৪৪ (গ) ১২ (ঘ) ৩৬
উত্তর: (ক) ৭২
১১. দুই সংখ্যার গ.সা.গু × ল.সা.গু =?
(ক) যোগফল (খ) বিয়োগফল (গ) গুণফল (ঘ) ভাগফল
উত্তর: (গ) গুণফল
১২. ২-এর কতটি গুণনীয়ক?
(ক) ১ (খ) ২ (গ) ৩ (ঘ) ৪
উত্তর: (খ) ২ (১ ও ২)
১৩. ১২-এর গুণনীয়ক কতটি?
(ক) ৪ (খ) ৫ (গ) ৬ (ঘ) ৭
উত্তর: (গ) ৬
১২=২²×৩; (২+১)(১+১)=৬। ভাজক: ১,২,৩,৪,৬,১২।
১৪. ৩৬-এর গুণনীয়ক কতটি?
(ক) ৬ (খ) ৭ (গ) ৮ (ঘ) ৯
উত্তর: (ঘ) ৯
৩৬=২²×৩²; (২+১)(২+১)=৯ (পূর্ণবর্গ, বিজোড়)।
১৫. ৭২-এর মৌলিক উৎপাদক?
(ক) ২³ × ৩² (খ) ২² × ৩³ (গ) ২⁴ × ৩ (ঘ) ২ × ৩⁴
উত্তর: (ক) ২³ × ৩²
১৬. ৪২৩ কি ৩ দ্বারা বিভাজ্য?
(ক) হ্যাঁ (খ) না (গ) আংশিক (ঘ) কোনোটিই নয়
উত্তর: (ক) হ্যাঁ
৪+২+৩=৯, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
১৭. কোনটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য?
(ক) ১৩৩৩ (খ) ২২২৪ (গ) ৩৩৩১ (ঘ) ৪৪৪২
উত্তর: (খ) ২২২৪
শেষ দুই অঙ্ক ২৪ ÷ ৪ = ৬।
১৮. কোনটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য?
(ক) ১২৩ (খ) ২৩৪ (গ) ৩৪৫ (ঘ) ৪৫৬
উত্তর: (গ) ৩৪৫
১৯. ১২৬ কি ৬ দ্বারা বিভাজ্য?
(ক) হ্যাঁ (খ) না (গ) আংশিক (ঘ) কোনোটিই নয়
উত্তর: (ক) হ্যাঁ
জোড় (২ ✓) এবং অঙ্কযোগ ৯ (৩ ✓)।
২০. ১১১১১১ কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য?
(ক) শুধু ৩ (খ) শুধু ৭ (গ) শুধু ১১ (ঘ) ৩, ৭, ১১, ১৩ সবই
উত্তর: (ঘ)
১১১১১১ = ৩ × ৭ × ১১ × ১৩ × ৩৭।
২১. ১২-এর প্রথম ৩টি গুণিতক?
(ক) ১২, ২৪, ৩৬ (খ) ১২, ১৩, ১৪ (গ) ১, ২, ৩ (ঘ) ১২, ১৪৪
উত্তর: (ক)
২২. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ৪, ৬, ৮ দিয়ে ভাগ করলে প্রতিবার ৩ ভাগশেষ?
(ক) ২১ (খ) ২৭ (গ) ৩০ (ঘ) ৫১
উত্তর: (খ) ২৭
ল.সা.গু(৪,৬,৮)=২৪; ২৪+৩=২৭।
২৩. দুই সংখ্যার গ.সা.গু ৬ ও ল.সা.গু ৩৬; একটি ১২ হলে অপরটি?
(ক) ১৬ (খ) ১৮ (গ) ২৪ (ঘ) ৩৬
উত্তর: (খ) ১৮
৬×৩৬÷১২ = ১৮।
২৪. ১+২+৩+...+১০০ =?
(ক) ৫০০০ (খ) ৫০৫০ (গ) ৪৯৫০ (ঘ) ১০১০০
উত্তর: (খ) ৫০৫০
১০০×১০১/২ = ৫০৫০।
২৫. ১+৩+৫+...+৯৯ =?
(ক) ২৫০০ (খ) ৫০০০ (গ) ৪৯৫০ (ঘ) ১০০০০
উত্তর: (ক) ২৫০০
৫০টি বিজোড়; যোগ = ৫০² = ২৫০০।
২৬. ২+৪+৬+...+১০০ =?
(ক) ২৫০০ (খ) ২৫৫০ (গ) ৫০০০ (ঘ) ৫০৫০
উত্তর: (খ) ২৫৫০
n=৫০; n(n+১)=৫০×৫১=২৫৫০।
২৭. ১²+২²+...+১০² =?
(ক) ৩৮৫ (খ) ৫০৫ (গ) ৩০০ (ঘ) ৫৫০
উত্তর: (ক) ৩৮৫
২৮. ১³+২³+...+৫³ =?
(ক) ১২৫ (খ) ১৫ (গ) ২২৫ (ঘ) ৩০০
উত্তর: (গ) ২২৫
[৫×৬/২]² = ১৫² = ২২৫।
২৯. সহমৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু কত?
(ক) ০ (খ) ১ (গ) ২ (ঘ) সংখ্যাটিই
উত্তর: (খ) ১
৩০. ৮ ও ৯-এর গ.সা.গু?
(ক) ০ (খ) ১ (গ) ২ (ঘ) ৪
উত্তর: (খ) ১ (সহমৌলিক)
৩১. ২, ৩, ৫-এর গুণফল?
(ক) ১০ (খ) ১৫ (গ) ৩০ (ঘ) ৪৫
উত্তর: (গ) ৩০
৩২. ২৪ ÷ ৭-এর ভাগশেষ?
(ক) ১ (খ) ২ (গ) ৩ (ঘ) ৪
উত্তর: (গ) ৩
৩৩. ১০০ ÷ ১২-এর ভাগশেষ?
(ক) ৪ (খ) ৬ (গ) ৮ (ঘ) ১০
উত্তর: (ক) ৪
৩৪. ৫০-এর কতটি ভাজক?
(ক) ৪ (খ) ৬ (গ) ৮ (ঘ) ১০
উত্তর: (খ) ৬
৫০=২×৫²; (১+১)(২+১)=৬। ১,২,৫,১০,২৫,৫০।
৩৫. ক্ষুদ্রতম পূর্ণ সংখ্যা (Integer) কোনটি?
(ক) ০ (খ) ১ (গ) −১ (ঘ) নেই
উত্তর: (ঘ) নেই
ঋণাত্মক দিকে অসীম।
৩৬. ক্ষুদ্রতম স্বাভাবিক সংখ্যা?
(ক) ০ (খ) ১ (গ) ২ (ঘ) −১
উত্তর: (খ) ১
৩৭. ক্ষুদ্রতম পূর্ণ সংখ্যা (Whole)?
(ক) ০ (খ) ১ (গ) ২ (ঘ) −১
উত্তর: (ক) ০
৩৮. ১২০-এর মৌলিক উৎপাদক?
(ক) ২³ × ৩ × ৫ (খ) ২² × ৩² × ৫ (গ) ২ × ৬ × ১০ (ঘ) ৫!
উত্তর: (ক)
৩৯. ৫! = ?
(ক) ১২০ (খ) ৬০ (গ) ৭২০ (ঘ) ২৪
উত্তর: (ক) ১২০
৪০. ১০! এর শেষে কয়টি শূন্য?
(ক) ১ (খ) ২ (গ) ৩ (ঘ) ৪
উত্তর: (খ) ২
[১০/৫]=২।
৪১. ১+২+...+n = ৫৫ হলে n =?
(ক) ৮ (খ) ৯ (গ) ১০ (ঘ) ১১
উত্তর: (গ) ১০
১০×১১/২ = ৫৫।
৪২. ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫ — কোন ধরনের সংখ্যা?
(ক) ক্রমিক বর্গ (খ) ত্রিভুজ-সংখ্যা (গ) জোড় (ঘ) মৌলিক
উত্তর: (ক) ক্রমিক বর্গ
৪৩. ১, ৩, ৬, ১০, ১৫ — কোন ধরনের?
(ক) ত্রিভুজ-সংখ্যা (খ) বর্গ (গ) মৌলিক (ঘ) জোড়
উত্তর: (ক) ত্রিভুজ-সংখ্যা
৪৪. ০.১২৩৪৫৬... (অসীম, অপুনরাবৃত্ত) — কোন সংখ্যা?
(ক) মূলদ (খ) অমূলদ (গ) স্বাভাবিক (ঘ) পূর্ণ
উত্তর: (খ) অমূলদ
৪৫. ০.৩৩৩... কোন সংখ্যা?
(ক) মূলদ (খ) অমূলদ (গ) স্বাভাবিক (ঘ) পূর্ণ
উত্তর: (ক) মূলদ (= ১/৩)
৪৬. ০.৪২৮৫৭১... = কোন ভগ্নাংশ?
(ক) ১/৭ (খ) ২/৭ (গ) ৩/৭ (ঘ) ৪/৭
উত্তর: (গ) ৩/৭
৪৭. বৃহত্তম দুই অঙ্কের সংখ্যা?
(ক) ৯৯ (খ) ১০০ (গ) ৯০ (ঘ) ৯৮
উত্তর: (ক) ৯৯
৪৮. বৃহত্তম তিন অঙ্কের সংখ্যা?
(ক) ৯৯৯ (খ) ১০০০ (গ) ৯৯৯৯ (ঘ) ৮৮৮
উত্তর: (ক) ৯৯৯
৪৯. ক্ষুদ্রতম তিন অঙ্কের সংখ্যা?
(ক) ১০০ (খ) ১০১ (গ) ১১০ (ঘ) ১১১
উত্তর: (ক) ১০০
৫০. বৃহত্তম দুই অঙ্কের মৌলিক সংখ্যা?
(ক) ৯৭ (খ) ৯৩ (গ) ৯১ (ঘ) ৮৯
উত্তর: (ক) ৯৭
৫১. ক্ষুদ্রতম দুই অঙ্কের মৌলিক সংখ্যা?
(ক) ১১ (খ) ১৩ (গ) ১৭ (ঘ) ১৯
উত্তর: (ক) ১১
৫২. বৃহত্তম তিন অঙ্কের মৌলিক সংখ্যা?
(ক) ৯৯৭ (খ) ৯৮৯ (গ) ৯৯৩ (ঘ) ৯৯৯
উত্তর: (ক) ৯৯৭
৫৩. ‘সব মৌলিক সংখ্যাই বিজোড়’ — সঠিক?
(ক) সঠিক (খ) ভুল, ২ ছাড়া (গ) আংশিক (ঘ) কোনোটিই নয়
উত্তর: (খ) ভুল, ২ জোড় মৌলিক
৫৪. ৬, ৯, ১২, ১৫-এর ল.সা.গু?
(ক) ৬০ (খ) ১৮০ (গ) ৩৬০ (ঘ) ৯০
উত্তর: (খ) ১৮০
৫৫. ৬, ৯, ১২, ১৫-এর গ.সা.গু?
(ক) ১ (খ) ২ (গ) ৩ (ঘ) ৬
উত্তর: (গ) ৩
৫৬. ১৫, ২৫ ও ৩৫-এর গ.সা.গু?
(ক) ৫ (খ) ১০ (গ) ১৫ (ঘ) ২৫
উত্তর: (ক) ৫
৫৭. ১২, ১৬ ও ২৪-এর ল.সা.গু?
(ক) ৩৬ (খ) ৪৮ (গ) ৬০ (ঘ) ৭২
উত্তর: (খ) ৪৮
৫৮. ১৮ ও ২৪-এর গ.সা.গু?
(ক) ২ (খ) ৩ (গ) ৬ (ঘ) ১২
উত্তর: (গ) ৬
৫৯. ১৮ ও ২৪-এর ল.সা.গু?
(ক) ৩৬ (খ) ৭২ (গ) ১৪৪ (ঘ) ৪৩২
উত্তর: (খ) ৭২
৬০. দুই সংখ্যার যোগফল ১২ ও গ.সা.গু ৩; সংখ্যা দুটি?
(ক) ৩, ৯ (খ) ৬, ৬ (গ) ১, ১১ (ঘ) ২, ১০
উত্তর: (ক) ৩, ৯
৬১. একটি সংখ্যাকে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ৩ ভাগশেষ; ১০ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ?
(ক) ৩ (খ) ৮ (গ) ৫ (ঘ) ৩ বা ৮
উত্তর: (ঘ) ৩ বা ৮
সংখ্যা = ৫k+৩; k জোড় হলে ৩, বিজোড় হলে ৮।
৬২. ৪২০-এর কতটি ভাজক?
(ক) ১৬ (খ) ২০ (গ) ২৪ (ঘ) ৩০
উত্তর: (গ) ২৪
৪২০=২²×৩×৫×৭; (৩)(২)(২)(২)=২৪।
৬৩. যমজ মৌলিক সংখ্যা (Twin primes) কী?
(ক) পার্থক্য ১ (খ) পার্থক্য ২ (গ) পার্থক্য ৩ (ঘ) পার্থক্য ৪
উত্তর: (খ) পার্থক্য ২ (যেমন ১১, ১৩)
৬৪. ৪ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?
(ক) ১০০০ (খ) ১২৩৪ (গ) ১১১১ (ঘ) ৯৯৯
উত্তর: (ক) ১০০০
৬৫. দ্বিগুণ ও তিনগুণের যোগফল ১৫ হলে সংখ্যা?
(ক) ৩ (খ) ৪ (গ) ৫ (ঘ) ৬
উত্তর: (ক) ৩
২x+৩x=৫x=১৫ ⇒ x=৩।
৬৬. ১১০-এর কত % ২২?
(ক) ১০% (খ) ২০% (গ) ২৫% (ঘ) ৪০%
উত্তর: (খ) ২০%
৬৭. সর্বোচ্চ কোন সংখ্যা ৩৪৬ ও ৪১৬-এর গ.সা.গু?
(ক) ২ (খ) ৪ (গ) ৬ (ঘ) ৮
উত্তর: (ক) ২
৩৪৬=২×১৭৩; ৪১৬=২⁵×১৩; সাধারণ শুধু ২।
৬৮. ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ১২, ১৬, ২৪ দিয়ে ভাগ করলে প্রতিবার ৫ ভাগশেষ?
(ক) ৫৩ (খ) ৬৫ (গ) ৭৭ (ঘ) ৯৫
উত্তর: (ক) ৫৩
ল.সা.গু(১২,১৬,২৪)=৪৮; ৪৮+৫=৫৩।
৬৯. ১২৩৪৫৬ কি ৮ দ্বারা বিভাজ্য?
(ক) হ্যাঁ (খ) না (গ) আংশিক (ঘ) কোনোটিই নয়
উত্তর: (ক) হ্যাঁ
শেষ তিন অঙ্ক ৪৫৬ ÷ ৮ = ৫৭।
৭০. ১২৩৪৫৬৭৮৯ কি ৯ দ্বারা বিভাজ্য?
(ক) হ্যাঁ (খ) না (গ) আংশিক (ঘ) কোনোটিই নয়
উত্তর: (ক) হ্যাঁ
অঙ্কযোগ ৪৫, ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
৭১. ৬৪-এর মৌলিক উৎপাদক?
(ক) ২⁶ (খ) ৪³ (গ) ৮² (ঘ) ২⁵
উত্তর: (ক) ২⁶
৭২. ১২৮-এর মৌলিক উৎপাদক?
(ক) ২⁷ (খ) ২⁸ (গ) ২⁶ (ঘ) ৪⁴
উত্তর: (ক) ২⁷
৭৩. বৃহত্তম কোন সংখ্যা ৭০, ১২৬, ১৭৬-কে ভাগ করলে যথাক্রমে ১২, ১৪, ২০ ভাগশেষ থাকে?
(ক) ২ (খ) ৪ (গ) ৬ (ঘ) ৮
উত্তর: (ক) ২
গ.সা.গু(৫৮, ১১২, ১৫৬) = ২।
৭৪. সর্বনিম্ন পূর্ণবর্গ সংখ্যা যা ৪, ৬, ৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য?
(ক) ৩৬ (খ) ৭২ (গ) ১৪৪ (ঘ) ১৮
উত্তর: (ক) ৩৬
ল.সা.গু=৩৬, যা পূর্ণবর্গ।
৭৫. ৩০-এর কতগুলো ভাজক জোড়?
(ক) ২ (খ) ৪ (গ) ৬ (ঘ) ৮
উত্তর: (খ) ৪
জোড় ভাজক: ২, ৬, ১০, ৩০।
৭৬. ২৫ × ২৫ × ২৫ = ?
(ক) ১৫৬২৫ (খ) ১৮৭৫০ (গ) ১২৫০০ (ঘ) ৯৩৭৫
উত্তর: (ক) ১৫৬২৫
৭৭. ১২৩৪ × ১১ = ?
(ক) ১৩৫৭৪ (খ) ১৩৫৬৪ (গ) ১৩৪৭৪ (ঘ) ১২৩৪০
উত্তর: (ক) ১৩৫৭৪
৭৮. সংখ্যাভিত্তিক গণিতের শাখার নাম?
(ক) পাটিগণিত (Arithmetic) (খ) জ্যামিতি (গ) বীজগণিত (ঘ) ক্যালকুলাস
উত্তর: (ক) পাটিগণিত
৭৯. ৫ অঙ্কের সর্বোচ্চ সংখ্যা?
(ক) ৯৯৯৯৯ (খ) ৯৯৯৯৯৯ (গ) ১০০০০০ (ঘ) ৯৯৯৯
উত্তর: (ক) ৯৯৯৯৯
৮০. ০-এর বর্গ ও ঘন?
(ক) ০ (খ) ১ (গ) −১ (ঘ) অসংজ্ঞায়িত
উত্তর: (ক) ০
৮১. ০! = ?
(ক) ০ (খ) ১ (গ) অসংজ্ঞায়িত (ঘ) ∞
উত্তর: (খ) ১
৮২. চারটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল ৪৪; ক্ষুদ্রতম কত?
(ক) ৬ (খ) ৮ (গ) ১০ (ঘ) ১২
উত্তর: (খ) ৮
৮+১০+১২+১৪=৪৪।
৮৩. তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগ ৩৩; মাঝেরটি?
(ক) ৯ (খ) ১১ (গ) ১৩ (ঘ) ১৫
উত্তর: (খ) ১১
৮৪. ৩২৪ কোন দ্বারা বিভাজ্য?
(ক) শুধু ৪ (খ) শুধু ৯ (গ) শুধু ৬ (ঘ) ৪, ৬, ৯ সবই
উত্তর: (ঘ)
অঙ্কযোগ ৯; শেষ দুই ২৪ (৪ ✓); জোড় (৬ ✓)।
৮৫. বর্গ সংখ্যার একক অঙ্ক কোনটি হতে পারে না?
(ক) ২ (খ) ৪ (গ) ৬ (ঘ) ৯
উত্তর: (ক) ২
বর্গের শেষ অঙ্ক ২, ৩, ৭, ৮ হয় না।
৮৬. বর্গ সংখ্যার সম্ভাব্য একক অঙ্ক?
(ক) ০,১,৪,৫,৬,৯ (খ) ০,২,৩,৭ (গ) সব অঙ্ক (ঘ) শুধু জোড়
উত্তর: (ক)
৮৭. বাইনারি ১০১১ দশমিকে?
(ক) ১১ (খ) ১৩ (গ) ১৫ (ঘ) ৭
উত্তর: (ক) ১১
৮+০+২+১=১১।
৮৮. হেক্সাডেসিমেল A = ?
(ক) ১০ (খ) ১১ (গ) ১৪ (ঘ) ১৫
উত্তর: (ক) ১০
৮৯. হেক্সাডেসিমেল F = ?
(ক) ১০ (খ) ১২ (গ) ১৪ (ঘ) ১৫
উত্তর: (ঘ) ১৫
৯০. ৩৩ ও ৭৭-এর গ.সা.গু?
(ক) ৩ (খ) ৭ (গ) ১১ (ঘ) ২১
উত্তর: (গ) ১১
৯১. ৩৬ ও ৪৮-এর গ.সা.গু?
(ক) ৪ (খ) ৬ (গ) ১২ (ঘ) ২৪
উত্তর: (গ) ১২
৯২. ৩৬ ও ৪৮-এর ল.সা.গু?
(ক) ৭২ (খ) ১৪৪ (গ) ১৭২৮ (ঘ) ৪৩২
উত্তর: (খ) ১৪৪
৯৩. কোনটি যৌগিক সংখ্যা?
(ক) ১ (খ) ২ (গ) ৭ (ঘ) ৯
উত্তর: (ঘ) ৯ (=৩×৩)
৯৪. ১১৯ কি মৌলিক?
(ক) হ্যাঁ (খ) না, ৭×১৭ (গ) আংশিক (ঘ) কোনোটিই নয়
উত্তর: (খ) না, ৭ × ১৭
৯৫. ৭৯ কি মৌলিক?
(ক) হ্যাঁ (খ) না (গ) যৌগিক (ঘ) কোনোটিই নয়
উত্তর: (ক) হ্যাঁ
৯৬. ৯১ কি মৌলিক?
(ক) হ্যাঁ (খ) না, ৭×১৩ (গ) আংশিক (ঘ) কোনোটিই নয়
উত্তর: (খ) না, ৭ × ১৩
৯৭. দুটি সংখ্যা ৭:১১ অনুপাতে; ল.সা.গু ৭৭ হলে গ.সা.গু?
(ক) ১ (খ) ৭ (গ) ১১ (ঘ) ৭৭
উত্তর: (ক) ১
৭ ও ১১ সহমৌলিক, তাই সংখ্যা দুটি ৭ ও ১১; গ.সা.গু ১।
৯৮. একটি সংখ্যাকে ৫০ দিয়ে ভাগ করলে ১৭ ভাগশেষ; ৫ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ?
(ক) ০ (খ) ১ (গ) ২ (ঘ) ৩
উত্তর: (গ) ২
৫০ ৫ দ্বারা বিভাজ্য, তাই ১৭ ÷ ৫ = ভাগশেষ ২।
৯৯. ৪২ ও ৭০-এর গ.সা.গু × ল.সা.গু?
(ক) ২৯৪০ (খ) ২৪৬৫ (গ) ১৪৭০ (ঘ) ২১০০
উত্তর: (ক) ২৯৪০
গ.সা.গু ১৪ × ল.সা.গু ২১০ = ৪২ × ৭০ = ২৯৪০।
১০০. একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে ৭ যোগ করলে ২৫ হয়; সংখ্যা?
(ক) ৪ (খ) ৬ (গ) ৮ (ঘ) ১০
উত্তর: (খ) ৬
৩x+৭=২৫ ⇒ x=৬।
১০১. ২৫! এর শেষে কয়টি শূন্য?
(ক) ৪ (খ) ৫ (গ) ৬ (ঘ) ৭
উত্তর: (গ) ৬
[২৫/৫]+[২৫/২৫]=৫+১=৬।
১০২. পূর্ণবর্গ সংখ্যার ভাজক-সংখ্যা কেমন হয়?
(ক) সবসময় জোড় (খ) সবসময় বিজোড় (গ) সবসময় ২ (ঘ) নির্দিষ্ট নয়
উত্তর: (খ) সবসময় বিজোড়
১০৩. ৪৮৫৯৬-এ ৮-এর স্থানীয় মান?
(ক) ৮ (খ) ৮০ (গ) ৮০০ (ঘ) ৮০০০
উত্তর: (ঘ) ৮০০০
৮ হাজারের ঘরে।
১০৪. ভগ্নাংশ ২/৩, ৪/৯, ৬/৩৬-এর ল.সা.গু?
(ক) ২ (খ) ৪ (গ) ৬ (ঘ) ১২
উত্তর: (খ) ৪
লবের ল.সা.গু ১২ / হরের গ.সা.গু ৩ = ৪।
১০৫. ৫১ কি মৌলিক?
(ক) হ্যাঁ (খ) না, ৩×১৭ (গ) আংশিক (ঘ) কোনোটিই নয়
উত্তর: (খ) না, ৩ × ১৭