← গণিত টপিকসমূহ | সকল বিষয়ের প্রস্তুতি

জ্যামিতি ও পরিমিতি (Geometry & Mensuration)

জ্যামিতি বিন্দু, রেখা, কোণ ও আকৃতির ধর্ম নিয়ে আলোচনা করে; পরিমিতি এসব আকৃতির পরিসীমা, ক্ষেত্রফল ও আয়তন মাপে। শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষায় এখান থেকে মূলত ক্ষেত্রফল-আয়তন গণনা, কোণ নির্ণয় ও পিথাগোরাসের প্রয়োগ আসে। ‘জ্যামিতির জনক’ গ্রিক গণিতবিদ ইউক্লিড।

পড়ার কৌশল: সূত্র মুখস্থের চেয়ে "কোন আকৃতির কোন সূত্র" মনে রাখুন এবং প্রতিটি সূত্রে একক খেয়াল করুন — দৈর্ঘ্য (একমাত্রিক), ক্ষেত্রফল (বর্গ একক), আয়তন (ঘন একক)। π-এর মান সাধারণত ২২/৭ বা ৩.১৪ নেওয়া হয়।

রেখা ও কোণ

  • বিন্দু: মাত্রাহীন অবস্থান; রেখা: এক-মাত্রিক, উভয় দিকে অসীম।
  • রেখাংশ: দুই প্রান্তবিন্দুসহ নির্দিষ্ট অংশ; রশ্মি: এক প্রান্তে শুরু, অন্যদিকে অসীম।
  • সমান্তরাল (‖): কখনো মেলে না; লম্ব (⊥): ৯০°-এ ছেদ করে।

কোণের প্রকার

প্রকারমাপ
সূক্ষ্মকোণ (Acute)০° < θ < ৯০°
সমকোণ (Right)৯০°
স্থূলকোণ (Obtuse)৯০° < θ < ১৮০°
সরলকোণ (Straight)১৮০°
প্রবৃদ্ধকোণ (Reflex)১৮০° < θ < ৩৬০°

কোণের জোড়া

  • পরিপূরক (Complementary): যোগফল ৯০°।
  • সম্পূরক (Supplementary): যোগফল ১৮০°।
  • বিপ্রতীপ কোণ (Vertical): দুই রেখা ছেদ করলে সম্মুখ কোণ — সর্বদা সমান।
  • সমান্তরাল রেখা ছেদকে কাটলে — অনুরূপ কোণ (F-আকার) সমান, একান্তর কোণ (Z-আকার) সমান, সহ-অন্তঃকোণ যোগফল ১৮০°।

ত্রিভুজ (Triangle)

তিন বাহু, তিন কোণ। তিন কোণের সমষ্টি সর্বদা ১৮০°।

কোণ-সমষ্টি ১৮০° কেন: ত্রিভুজের এক শীর্ষ দিয়ে বিপরীত বাহুর সমান্তরাল একটি রেখা টানলে, একান্তর কোণের ধর্মে ত্রিভুজের তিন কোণ ঐ সরলরেখায় পাশাপাশি বসে যায়; সরলরেখার কোণ ১৮০°, তাই তিন কোণের যোগফলও ১৮০°।

প্রকারভেদ

  • বাহু অনুযায়ী: সমবাহু (তিন বাহু সমান, প্রতি কোণ ৬০°), সমদ্বিবাহু (দুই বাহু সমান, তাদের বিপরীত কোণ সমান), বিষমবাহু (তিন বাহু ভিন্ন)।
  • কোণ অনুযায়ী: সূক্ষ্মকোণী (সব কোণ < ৯০°), সমকোণী (একটি ৯০°), স্থূলকোণী (একটি > ৯০°)।

ক্ষেত্রফল

  • সাধারণ: ½ × ভূমি × উচ্চতা।
  • হেরনের সূত্র (তিন বাহু জানা): √[s(s−a)(s−b)(s−c)], যেখানে s = (a+b+c)/2।
  • সমবাহু ত্রিভুজ: (√3/4)a²; উচ্চতা = (√3/2)a।
ত্রিভুজ গঠনের শর্ত: যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে; নাহলে ত্রিভুজ আঁকা যায় না।

পিথাগোরাস ও ত্রিভুজের বিশেষ বিন্দু

পিথাগোরাসের উপপাদ্য: সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের বর্গ = অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি:

অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²   (c² = a² + b²)

এটি কেবল সমকোণী ত্রিভুজে প্রযোজ্য।

পিথাগোরাস ট্রিপল (যে তিনটি পূর্ণসংখ্যা সমকোণী ত্রিভুজ গড়ে): ৩-৪-৫, ৫-১২-১৩, ৭-২৪-২৫, ৮-১৫-১৭, ৯-৪০-৪১। এগুলো ও এদের গুণিতক (৬-৮-১০) মনে রাখলে অনেক প্রশ্ন মুহূর্তে সমাধান হয়।

ত্রিভুজের চারটি বিশেষ বিন্দু

  • ভরকেন্দ্র (Centroid): তিন মধ্যমার ছেদবিন্দু; প্রতিটি মধ্যমাকে শীর্ষ থেকে ২:১ অনুপাতে ভাগ করে।
  • পরিকেন্দ্র (Circumcentre): বাহুর লম্ব-সমদ্বিখণ্ডকের ছেদ; পরিবৃত্তের কেন্দ্র।
  • অন্তঃকেন্দ্র (Incentre): কোণ-সমদ্বিখণ্ডকের ছেদ; অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র।
  • লম্বকেন্দ্র (Orthocentre): তিন উচ্চতার ছেদবিন্দু।

বহুভুজের কোণ (Polygon Angles)

n-বাহু বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি: যেকোনো n-বাহু বহুভুজকে এক শীর্ষ থেকে কর্ণ টেনে (n−2)টি ত্রিভুজে ভাগ করা যায়। প্রতিটি ত্রিভুজের কোণ-সমষ্টি ১৮০°, তাই —

অন্তঃকোণের সমষ্টি = (n − 2) × ১৮০°

নিয়মিত (সব বাহু-কোণ সমান) বহুভুজে প্রতি কোণ = (n−2)×১৮০°/n। বাহ্যিক কোণের সমষ্টি সবসময় ৩৬০°।
বহুভুজবাহুকোণ-সমষ্টিনিয়মিত প্রতি কোণ
ত্রিভুজ৩১৮০°৬০°
চতুর্ভুজ৪৩৬০°৯০°
পঞ্চভুজ৫৫৪০°১০৮°
ষড়ভুজ৬৭২০°১২০°
অষ্টভুজ৮১০৮০°১৩৫°

চতুর্ভুজ (Quadrilateral)

চার বাহু, চার কোণ; কোণ-সমষ্টি ৩৬০°।

চতুর্ভুজক্ষেত্রফলপরিসীমা / বিশেষ
বর্গ (Square)a²পরিসীমা 4a; কর্ণ a√2; কর্ণ থেকে ক্ষেত্রফল d²/2
আয়তক্ষেত্র (Rectangle)l × wপরিসীমা 2(l+w); কর্ণ √(l²+w²)
রম্বস (Rhombus)½ × d₁ × d₂পরিসীমা 4a; কর্ণ পরস্পর লম্ব-সমদ্বিখণ্ডক
সামান্তরিক (Parallelogram)ভূমি × উচ্চতাপরিসীমা 2(a+b); বিপরীত কোণ সমান, সংলগ্ন কোণ সম্পূরক
ট্রাপিজিয়াম (Trapezium)½ × (সমান্তরাল বাহুর যোগ) × উচ্চতাএকজোড়া বাহু সমান্তরাল
উদাহরণ: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু ৮ ও ১২, উচ্চতা ৫; ক্ষেত্রফল?
= ½ × (৮ + ১২) × ৫ = ½ × ২০ × ৫ = ৫০ বর্গ একক।

বৃত্ত (Circle)

একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (কেন্দ্র) থেকে সমদূরত্বে থাকা সব বিন্দুর সমষ্টি = বৃত্ত। ঐ সমদূরত্ব = ব্যাসার্ধ r; ব্যাস d = 2r।

  • পরিধি: C = 2πr = πd।
  • ক্ষেত্রফল: A = πr²।
  • বৃত্তচাপ (Arc) = (θ/৩৬০) × 2πr; বৃত্তকলা (Sector) ক্ষেত্রফল = (θ/৩৬০) × πr²।
  • π = পরিধি/ব্যাস ≈ ২২/৭ ≈ ৩.১৪।

বৃত্তের গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম

  • অর্ধবৃত্তে অন্তর্লিখিত কোণ = ৯০° (থেলিসের উপপাদ্য)।
  • একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ = ২ × পরিধিস্থ কোণ।
  • চক্রীয় চতুর্ভুজে বিপরীত কোণের সমষ্টি = ১৮০°।
  • কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
  • স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শক ও ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্ব।
উদাহরণ: ব্যাসার্ধ ৭ সেমি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল (π = ২২/৭)?
পরিধি = 2 × ২২/৭ × ৭ = ৪৪ সেমি; ক্ষেত্রফল = ২২/৭ × ৪৯ = ১৫৪ বর্গ সেমি।

ঘনবস্তু ও আয়তন (Solids)

ঘনবস্তুআয়তনপৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
ঘনক (Cube)a³6a²; কর্ণ a√3
আয়তঘন (Cuboid)l × w × h2(lw+wh+hl); কর্ণ √(l²+w²+h²)
বেলন (Cylinder)πr²hপার্শ্ব 2πrh; পূর্ণ 2πr(r+h)
শঙ্কু (Cone)(1/3)πr²hπr² + πrl; তির্যক l = √(r²+h²)
গোলক (Sphere)(4/3)πr³4πr²
অর্ধগোলক (Hemisphere)(2/3)πr³3πr² (সমতলসহ)
উদাহরণ: একটি বেলনের r = ৭, h = ১০ (π = ২২/৭)। আয়তন?
= πr²h = ২২/৭ × ৪৯ × ১০ = ২২ × ৭ × ১০ = ১৫৪০ ঘন একক।

মাপ বাড়ালে ক্ষেত্রফল ও আয়তন কীভাবে বাড়ে

মূল নিয়ম: কোনো আকৃতির সব রৈখিক মাপ k গুণ করলে —
  • দৈর্ঘ্য/পরিসীমা k গুণ হয়,
  • ক্ষেত্রফল k² গুণ হয়,
  • আয়তন k³ গুণ হয়।
কারণ ক্ষেত্রফলে দৈর্ঘ্য দুবার, আয়তনে তিনবার গুণ হয়।
  • বর্গের বাহু দ্বিগুণ → ক্ষেত্রফল ৪ গুণ; বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ → ক্ষেত্রফল ৪ গুণ।
  • ঘনকের বাহু দ্বিগুণ → আয়তন ৮ গুণ; গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ → আয়তন ৮ গুণ।
  • দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৩:৪ হলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৯:১৬।

ধাপে ধাপে সমাধানসহ উদাহরণ

উদাহরণ ১: একটি বর্গের বাহু ৮ মিটার। ক্ষেত্রফল ও কর্ণ?
ক্ষেত্রফল = ৮² = ৬৪ বর্গ মিটার; কর্ণ = a√2 = ৮√2 ≈ ১১.৩১ মিটার।
উদাহরণ ২: ১২ ও ৫ বাহুর আয়তক্ষেত্রের কর্ণ?
= √(১২² + ৫²) = √(১৪৪ + ২৫) = √১৬৯ = ১৩ (একটি পিথাগোরাস ট্রিপল)।
উদাহরণ ৩: একটি ত্রিভুজের বাহু ৬, ৮, ১০। ক্ষেত্রফল?
৬² + ৮² = ৩৬ + ৬৪ = ১০০ = ১০², তাই এটি সমকোণী; লম্ব ৬, ভূমি ৮।
ক্ষেত্রফল = ½ × ৬ × ৮ = ২৪ বর্গ একক।
উদাহরণ ৪: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৫৪ বর্গ সেমি (π = ২২/৭)। ব্যাসার্ধ?
πr² = ১৫৪ ⇒ r² = ১৫৪ × ৭/২২ = ৪৯ ⇒ r = ৭ সেমি।
উদাহরণ ৫: একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত (কর্ণ = ব্যাস) বর্গের ক্ষেত্রফল, যদি বৃত্তের ব্যাস ১০ হয়?
বর্গের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস = ১০। বর্গের ক্ষেত্রফল = কর্ণ²/২ = ১০০/২ = ৫০ বর্গ একক।
উদাহরণ ৬: একটি ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘন একক। এর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল?
a³ = ৬৪ ⇒ a = ৪; পৃষ্ঠতল = 6a² = ৬ × ১৬ = ৯৬ বর্গ একক।

সাধারণ ভুল ও সতর্কতা

  • পিথাগোরাস সব ত্রিভুজে খাটানো: এটি কেবল সমকোণী ত্রিভুজে প্রযোজ্য।
  • পরিপূরক ও সম্পূরক গুলিয়ে ফেলা: পরিপূরক ৯০°, সম্পূরক ১৮০°।
  • ক্ষেত্রফল বনাম পরিসীমার একক: ক্ষেত্রফল বর্গ এককে, পরিসীমা রৈখিক এককে।
  • স্কেলিং ভুল: বাহু দ্বিগুণে ক্ষেত্রফল ৪ গুণ, আয়তন ৮ গুণ — দ্বিগুণ নয়।
  • রম্বসে বাহু দিয়ে ক্ষেত্রফল: রম্বসের ক্ষেত্রফল কর্ণ দিয়ে (½d₁d₂), শুধু বাহু দিয়ে নয়।
  • π এর মান: সংখ্যা ৭-এর গুণিতক হলে ২২/৭ নিন, নাহলে ৩.১৪।

দ্রুত সমাধানের কৌশল

  • পিথাগোরাস ট্রিপল মুখস্থ: ৩-৪-৫, ৫-১২-১৩, ৮-১৫-১৭, ৭-২৪-২৫ ও গুণিতক।
  • বহুভুজ কোণ: অন্তঃকোণ সমষ্টি = (n−2)×১৮০°; বাহ্যিক কোণ সমষ্টি সবসময় ৩৬০°।
  • বর্গের কর্ণ থেকে ক্ষেত্রফল: d²/2 — কর্ণ জানা থাকলে সরাসরি।
  • স্কেল ফ্যাক্টর: রৈখিক k → ক্ষেত্রফল k², আয়তন k³।
  • π=২২/৭: ব্যাসার্ধ ৭-এর গুণিতক হলে গণনা পূর্ণসংখ্যায় নেমে আসে।

সূত্র ও তথ্যের সারসংক্ষেপ

  • জ্যামিতির জনক ইউক্লিড; ত্রিভুজের কোণ ১৮০°, চতুর্ভুজের ৩৬০°।
  • n-বাহু বহুভুজ: অন্তঃকোণ সমষ্টি (n−2)×১৮০°; বাহ্যিক সমষ্টি ৩৬০°।
  • পিথাগোরাস: c² = a² + b² (সমকোণী)।
  • ত্রিভুজ ক্ষেত্রফল ½×ভূমি×উচ্চতা; সমবাহু (√3/4)a²; হেরন √[s(s−a)(s−b)(s−c)]।
  • বর্গ a², কর্ণ a√2; আয়তক্ষেত্র l×w, কর্ণ √(l²+w²); রম্বস ½d₁d₂; ট্রাপিজিয়াম ½(a+b)h।
  • বৃত্ত: পরিধি 2πr, ক্ষেত্রফল πr²; π ≈ ২২/৭。
  • ঘনক a³/6a²; আয়তঘন lwh; বেলন πr²h; শঙ্কু (1/3)πr²h; গোলক (4/3)πr³/4πr²।
  • ঘনকের কর্ণ a√3; আয়তঘনের √(l²+w²+h²); শঙ্কুর তির্যক √(r²+h²)।
  • রৈখিক k গুণ → ক্ষেত্রফল k², আয়তন k³।
  • অর্ধবৃত্তে অন্তর্লিখিত কোণ ৯০°; চক্রীয় চতুর্ভুজে বিপরীত কোণ ১৮০°।

প্রশ্ন ও উত্তর (১০০+ MCQ)

১. ত্রিভুজের কোণ-সমষ্টি?

(ক) ৯০° (খ) ১৮০° (গ) ২৭০° (ঘ) ৩৬০°

উত্তর: (খ) ১৮০°

২. চতুর্ভুজের কোণ-সমষ্টি?

(ক) ১৮০° (খ) ২৭০° (গ) ৩৬০° (ঘ) ৪৫০°

উত্তর: (গ) ৩৬০°

৩. পঞ্চভুজের কোণ-সমষ্টি?

(ক) ৩৬০° (খ) ৪৫০° (গ) ৫৪০° (ঘ) ৭২০°

উত্তর: (গ) ৫৪০°

(৫−২)×১৮০।

৪. ষড়ভুজের কোণ-সমষ্টি?

(ক) ৫৪০° (খ) ৬৩০° (গ) ৭২০° (ঘ) ৯০০°

উত্তর: (গ) ৭২০°

৫. সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি কোণ?

(ক) ৪৫° (খ) ৬০° (গ) ৭৫° (ঘ) ৯০°

উত্তর: (খ) ৬০°

৬. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে কোনগুলো সমান?

(ক) তিন বাহু (খ) তিন কোণ (গ) দুই বাহু ও তাদের বিপরীত কোণ (ঘ) কোনোটিই নয়

উত্তর: (গ)

৭. পিথাগোরাসের উপপাদ্য?

(ক) c²=a²+b² (সমকোণী) (খ) a+b=c (গ) ab=c² (ঘ) a×b=c

উত্তর: (ক)

৮. কোনটি পিথাগোরাস ট্রিপল?

(ক) ৩-৪-৫ (খ) ৫-১২-১৩ (গ) ৭-২৪-২৫ (ঘ) সবগুলো

উত্তর: (ঘ)

৯. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ৫, একটি বাহু ৩; অপর বাহু?

(ক) ৪ (খ) ৩ (গ) ২ (ঘ) ৬

উত্তর: (ক) ৪

১০. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল?

(ক) ভূমি×উচ্চতা (খ) ½×ভূমি×উচ্চতা (গ) ভূমি+উচ্চতা (ঘ) (ভূমি×উচ্চতা)²

উত্তর: (খ)

১১. ভূমি ৬, উচ্চতা ৮ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল?

(ক) ২৪ (খ) ৪৮ (গ) ১২ (ঘ) ৩৬

উত্তর: (ক) ২৪

১২. সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (বাহু a)?

(ক) a² (খ) (√3/4)a² (গ) a²/2 (ঘ) √3 a²

উত্তর: (খ)

১৩. সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা?

(ক) (√3/2)a (খ) a√2 (গ) a/2 (ঘ) a

উত্তর: (ক)

১৪. বাহু ৬ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল?

(ক) ৯ (খ) ৯√৩ (গ) ১৮ (ঘ) ১২√৩

উত্তর: (খ) ৯√৩

(√3/4)×36।

১৫. বর্গের ক্ষেত্রফল?

(ক) 4a (খ) a² (গ) 2a (ঘ) a³

উত্তর: (খ) a²

১৬. বর্গের পরিসীমা?

(ক) a² (খ) 4a (গ) 2a (ঘ) a³

উত্তর: (খ) 4a

১৭. বর্গের কর্ণ?

(ক) a√2 (খ) 2a (গ) a/2 (ঘ) 2√a

উত্তর: (ক) a√2

১৮. ৫ সেমি বাহুর বর্গের কর্ণ?

(ক) ৫ (খ) ৭ (গ) ৫√২ (ঘ) ১০

উত্তর: (গ) ৫√২

১৯. ৮ সেমি বাহুর বর্গের ক্ষেত্রফল?

(ক) ৩২ (খ) ৪৮ (গ) ৬৪ (ঘ) ৮০

উত্তর: (গ) ৬৪

২০. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল?

(ক) l+w (খ) l×w (গ) 2(l+w) (ঘ) l²+w²

উত্তর: (খ)

২১. ১২×৫ আয়তক্ষেত্রের কর্ণ?

(ক) ১০ (খ) ১৩ (গ) ১৫ (ঘ) ১৭

উত্তর: (খ) ১৩

২২. দৈর্ঘ্য ১০, প্রস্থ ৪ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা?

(ক) ১৪ (খ) ২৪ (গ) ২৮ (ঘ) ৪০

উত্তর: (গ) ২৮

২৩. রম্বসের ক্ষেত্রফল?

(ক) a² (খ) ½×d₁×d₂ (গ) d₁×d₂ (ঘ) 4a

উত্তর: (খ)

২৪. কর্ণ ৬ ও ৮ রম্বসের ক্ষেত্রফল?

(ক) ২৪ (খ) ৪৮ (গ) ৩৬ (ঘ) ৭২

উত্তর: (ক) ২৪

২৫. ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল?

(ক) ½(a+b)h (খ) ab+h (গ) a+b+h (ঘ) (a+b)h

উত্তর: (ক)

২৬. সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল?

(ক) ½ab (খ) a×b (গ) ভূমি×উচ্চতা (ঘ) 2(a+b)

উত্তর: (গ)

২৭. বৃত্তের পরিধি?

(ক) πr (খ) 2πr (গ) πr² (ঘ) 4πr

উত্তর: (খ) 2πr

২৮. বৃত্তের ক্ষেত্রফল?

(ক) πr (খ) 2πr (গ) πr² (ঘ) 4πr²

উত্তর: (গ) πr²

২৯. r=৭ বৃত্তের পরিধি?

(ক) ২২ (খ) ৩৩ (গ) ৪৪ (ঘ) ৫৫

উত্তর: (গ) ৪৪

৩০. r=৭ বৃত্তের ক্ষেত্রফল?

(ক) ৪৯ (খ) ১৫৪ (গ) ৪৪ (ঘ) ১৯৬

উত্তর: (খ) ১৫৪

৩১. বৃত্তের ব্যাস?

(ক) 2r (খ) r/2 (গ) πr (ঘ) r²

উত্তর: (ক) 2r

৩২. π-এর আসন্ন মান?

(ক) ২.৭ (খ) ৩.১৪ (গ) ১.৪১ (ঘ) ১.৭৩

উত্তর: (খ) ৩.১৪

৩৩. অর্ধবৃত্তে অন্তর্লিখিত কোণ?

(ক) ৬০° (খ) ৯০° (গ) ১২০° (ঘ) ১৮০°

উত্তর: (খ) ৯০°

৩৪. কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর লম্ব কী করে?

(ক) জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে (খ) সমান্তরাল হয় (গ) ব্যাস হয় (ঘ) কিছুই না

উত্তর: (ক)

৩৫. চক্রীয় চতুর্ভুজে বিপরীত কোণের সমষ্টি?

(ক) ৯০° (খ) ১৮০° (গ) ২৭০° (ঘ) ৩৬০°

উত্তর: (খ) ১৮০°

৩৬. স্পর্শক ও ব্যাসার্ধের সম্পর্ক?

(ক) সমান্তরাল (খ) লম্ব (গ) সমান (ঘ) কোনো সম্পর্ক নেই

উত্তর: (খ) লম্ব

৩৭. ঘনকের আয়তন?

(ক) a² (খ) a³ (গ) 6a² (ঘ) 4πa²

উত্তর: (খ) a³

৩৮. ঘনকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল?

(ক) 4a² (খ) 6a² (গ) a² (ঘ) 12a²

উত্তর: (খ) 6a²

৩৯. ঘনকের কর্ণ?

(ক) a√২ (খ) a√৩ (গ) 2a (ঘ) 3a

উত্তর: (খ) a√৩

৪০. ৫ মি বাহুর ঘনকের আয়তন?

(ক) ২৫ (খ) ১২৫ (গ) ১৫০ (ঘ) ১৭৫

উত্তর: (খ) ১২৫

৪১. আয়তঘনের আয়তন?

(ক) lwh (খ) 6(lw+wh+hl) (গ) 2(l+w+h) (ঘ) √(l²+w²+h²)

উত্তর: (ক) lwh

৪২. আয়তঘনের কর্ণ?

(ক) lwh (খ) √(l²+w²+h²) (গ) l+w+h (ঘ) 2(l+w+h)

উত্তর: (খ)

৪৩. বেলনের আয়তন?

(ক) πr²h (খ) (1/3)πr²h (গ) (4/3)πr³ (ঘ) 2πrh

উত্তর: (ক)

৪৪. বেলনের পার্শ্ব-পৃষ্ঠ?

(ক) 2πrh (খ) πr²h (গ) 2πr(r+h) (ঘ) πr²

উত্তর: (ক) 2πrh

৪৫. বেলনের পূর্ণ-পৃষ্ঠ?

(ক) 2πrh (খ) 2πr(r+h) (গ) πr² (ঘ) 4πr²

উত্তর: (খ)

৪৬. শঙ্কুর আয়তন?

(ক) πr²h (খ) (1/3)πr²h (গ) (2/3)πr²h (ঘ) (4/3)πr³

উত্তর: (খ)

৪৭. শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা?

(ক) r+h (খ) √(r²+h²) (গ) rh (ঘ) 2r+h

উত্তর: (খ)

৪৮. গোলকের আয়তন?

(ক) πr³ (খ) (4/3)πr³ (গ) (3/4)πr³ (ঘ) 4πr²

উত্তর: (খ)

৪৯. গোলকের পৃষ্ঠতল?

(ক) 4πr² (খ) πr² (গ) 2πr² (ঘ) (4/3)πr²

উত্তর: (ক) 4πr²

৫০. অর্ধগোলকের আয়তন?

(ক) (2/3)πr³ (খ) (1/3)πr³ (গ) (4/3)πr³ (ঘ) πr³

উত্তর: (ক) (2/3)πr³

৫১. দুটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি?

(ক) ৯০° (খ) ১৮০° (গ) ২৭০° (ঘ) ৩৬০°

উত্তর: (খ) ১৮০°

৫২. দুটি পরিপূরক কোণের সমষ্টি?

(ক) ৯০° (খ) ১৮০° (গ) ২৭০° (ঘ) ৩৬০°

উত্তর: (ক) ৯০°

৫৩. বিপ্রতীপ কোণ সম্পর্কে সত্য?

(ক) সমান (খ) যোগে ৯০° (গ) যোগে ১৮০° (ঘ) যোগে ৩৬০°

উত্তর: (ক) সমান

৫৪. ৭০° কোণের সম্পূরক?

(ক) ২০° (খ) ১১০° (গ) ৯০° (ঘ) ১৬০°

উত্তর: (খ) ১১০°

৫৫. ৭০° কোণের পরিপূরক?

(ক) ২০° (খ) ১১০° (গ) ৯০° (ঘ) ১৬০°

উত্তর: (ক) ২০°

৫৬. সরলরেখার কোণ?

(ক) ৯০° (খ) ১৮০° (গ) ২৭০° (ঘ) ৩৬০°

উত্তর: (খ) ১৮০°

৫৭. পূর্ণ ঘূর্ণনের কোণ?

(ক) ১৮০° (খ) ২৭০° (গ) ৩৬০° (ঘ) ৪৫০°

উত্তর: (গ) ৩৬০°

৫৮. সমান্তরাল রেখার প্রতীক?

(ক) ⊥ (খ) ‖ (গ) ≅ (ঘ) ∠

উত্তর: (খ) ‖

৫৯. লম্ব রেখার প্রতীক?

(ক) ⊥ (খ) ‖ (গ) ≅ (ঘ) ∠

উত্তর: (ক) ⊥

৬০. ভরকেন্দ্র (Centroid) মধ্যমাকে কোন অনুপাতে ভাগ করে?

(ক) ১:১ (খ) ১:২ (গ) ২:১ (ঘ) ৩:১

উত্তর: (গ) ২:১

৬১. সর্বসমতার শর্ত কোনটি?

(ক) SAS (খ) SSS (গ) ASA (ঘ) সবগুলো

উত্তর: (ঘ)

৬২. দুটি কোণ ৪০° ও ৭০° হলে ত্রিভুজের তৃতীয় কোণ?

(ক) ৬০° (খ) ৭০° (গ) ৭৫° (ঘ) ৮০°

উত্তর: (খ) ৭০°

৬৩. ৩০° ও ৬০° হলে তৃতীয় কোণ?

(ক) ৬০° (খ) ৯০° (গ) ১২০° (ঘ) ১৫০°

উত্তর: (খ) ৯০°

৬৪. ৪৫° ও ৪৫° হলে তৃতীয় কোণ?

(ক) ৪৫° (খ) ৬০° (গ) ৯০° (ঘ) ১২০°

উত্তর: (গ) ৯০°

৬৫. "ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা" কোন আকৃতির?

(ক) সামান্তরিক (খ) ত্রিভুজ (গ) বৃত্ত (ঘ) ট্রাপিজিয়াম

উত্তর: (ক)

৬৬. ১০ × ৬ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল?

(ক) ১৬ (খ) ৩০ (গ) ৬০ (ঘ) ১০০

উত্তর: (গ) ৬০

৬৭. ব্যাস ১০ বৃত্তের ক্ষেত্রফল (π=৩.১৪)?

(ক) ৭৮.৫ (খ) ১৫৪ (গ) ৩১৪ (ঘ) ৫০

উত্তর: (ক) ৭৮.৫

π×৫²।

৬৮. ব্যাসার্ধ ১৪ বৃত্তের ক্ষেত্রফল (π=২২/৭)?

(ক) ৩০৮ (খ) ৪৪০ (গ) ৬১৬ (ঘ) ৭৪৮

উত্তর: (গ) ৬১৬

৬৯. সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে সমান বাহু ৩; অতিভুজ?

(ক) ৩ (খ) ৪.৫ (গ) ৩√২ (ঘ) ৬

উত্তর: (গ) ৩√২

৭০. বর্গের কর্ণ ১৪√২ হলে বাহু?

(ক) ১০ (খ) ১২ (গ) ১৪ (ঘ) ১৬

উত্তর: (গ) ১৪

৭১. পরিধি ৪৪ বৃত্তের ব্যাসার্ধ (π=২২/৭)?

(ক) ৫ (খ) ৬ (গ) ৭ (ঘ) ৮

উত্তর: (গ) ৭

৭২. আয়তন ৬৪ ঘনকের বাহু?

(ক) ৪ (খ) ৬ (গ) ৮ (ঘ) ১৬

উত্তর: (ক) ৪

৭৩. গোলকের আয়তন (4/3)π×৬৪ হলে ব্যাসার্ধ?

(ক) ৪ (খ) ৮ (গ) ১৬ (ঘ) ২

উত্তর: (ক) ৪

r³=৬৪।

৭৪. শঙ্কুর r=৩, h=৪; তির্যক উচ্চতা?

(ক) ৫ (খ) ৭ (গ) ১২ (ঘ) ২৫

উত্তর: (ক) ৫

৭৫. শঙ্কুর r=৩, h=৪; আয়তন?

(ক) ১২π (খ) ১৫π (গ) ৩৬π (ঘ) ৪৮π

উত্তর: (ক) ১২π

(1/3)π×৯×৪।

৭৬. বাহু ৬, ৮, ১০ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল?

(ক) ২৪ (খ) ৩০ (গ) ৪৮ (ঘ) ৫০

উত্তর: (ক) ২৪

সমকোণী; ½×৬×৮।

৭৭. বাহু ৩, ৪, ৫ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল?

(ক) ৫ (খ) ৬ (গ) ১২ (ঘ) ১৫

উত্তর: (খ) ৬

৭৮. ৬০° কোণের বৃত্তকলা, r=৬; ক্ষেত্রফল?

(ক) ৬π (খ) ৩৬π (গ) ১২π (ঘ) ১৮π

উত্তর: (ক) ৬π

(60/360)×π×36।

৭৯. পরিসীমা ২০ মি বর্গের ক্ষেত্রফল?

(ক) ১৬ (খ) ২০ (গ) ২৫ (ঘ) ৪০

উত্তর: (গ) ২৫

বাহু ২০/৪=৫; ৫²=২৫।

৮০. ব্যাসার্ধ ৩.৫ সেমি বৃত্তের ক্ষেত্রফল (π=২২/৭)?

(ক) ৩৫ (খ) ৩৮.৫ (গ) ৪০ (ঘ) ৪৪

উত্তর: (খ) ৩৮.৫

৮১. দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৩ ও ৪; ক্ষেত্রফলের অনুপাত?

(ক) ৩:৪ (খ) ৯:১৬ (গ) ১:২ (ঘ) ৪:৩

উত্তর: (খ) ৯:১৬

৮২. বাহু ৪ ও ৬ দুই বর্গের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য?

(ক) ১০ (খ) ১৬ (গ) ২০ (ঘ) ৫০

উত্তর: (গ) ২০

৩৬−১৬।

৮৩. বাহু ৪ ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল?

(ক) ৬৪ (খ) ৯৬ (গ) ১২৮ (ঘ) ১৪৪

উত্তর: (খ) ৯৬

৮৪. ব্যাসার্ধ ৭ গোলকের পৃষ্ঠতল (π=২২/৭)?

(ক) ১৫৪ (খ) ৬১৬ (গ) ৪৪ (ঘ) ১০০

উত্তর: (খ) ৬১৬

4π×৪৯।

৮৫. পরিধি ÷ ব্যাস = ?

(ক) π (খ) 2π (গ) 1/π (ঘ) πr

উত্তর: (ক) π

৮৬. পরিধি ÷ ব্যাসার্ধ = ?

(ক) π (খ) 2π (গ) 1/π (ঘ) π/2

উত্তর: (খ) 2π

৮৭. ব্যাস ১০ বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের ক্ষেত্রফল?

(ক) ৫০ (খ) ৭৫ (গ) ১০০ (ঘ) ২০০

উত্তর: (ক) ৫০

কর্ণ=১০; ক্ষেত্রফল d²/2।

৮৮. পিথাগোরাস ট্রিপল ৮-১৫-?

(ক) ১৬ (খ) ১৭ (গ) ১৮ (ঘ) ২০

উত্তর: (খ) ১৭

৮৯. পিথাগোরাস ট্রিপল ৭-২৪-?

(ক) ২৫ (খ) ২৪ (গ) ২৬ (ঘ) ২৭

উত্তর: (ক) ২৫

৯০. একটি ত্রিভুজের এক কোণ ৪০°; বাকি দুই কোণের সমষ্টি?

(ক) ১০০° (খ) ১২০° (গ) ১৪০° (ঘ) ১৬০°

উত্তর: (গ) ১৪০°

১৮০−৪০।

৯১. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে সমান কোণ কোথায় থাকে?

(ক) সমান বাহুর বিপরীতে (খ) ভূমির বিপরীতে (গ) শীর্ষে (ঘ) কোথাও না

উত্তর: (ক) সমান বাহুর বিপরীতে

৯২. সামান্তরিকের বিপরীত কোণ?

(ক) সমান (খ) সম্পূরক (গ) ভিন্ন (ঘ) ৯০°

উত্তর: (ক) সমান

৯৩. সামান্তরিকের সংলগ্ন কোণ?

(ক) সমান (খ) সম্পূরক (১৮০°) (গ) ভিন্ন (ঘ) ৯০°

উত্তর: (খ) সম্পূরক

৯৪. নিয়মিত ষড়ভুজের প্রতি কোণ?

(ক) ৬০° (খ) ৯০° (গ) ১২০° (ঘ) ১৫০°

উত্তর: (গ) ১২০°

৯৫. নিয়মিত পঞ্চভুজের প্রতি কোণ?

(ক) ৯০° (খ) ১০৮° (গ) ১২০° (ঘ) ১৩৫°

উত্তর: (খ) ১০৮°

৯৬. নিয়মিত অষ্টভুজের প্রতি কোণ?

(ক) ১২০° (খ) ১৩৫° (গ) ১৫০° (ঘ) ১৫৫°

উত্তর: (খ) ১৩৫°

৯৭. বাহু ৫, ৬, ৭ ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা?

(ক) ৬ (খ) ৭ (গ) ৮ (ঘ) ৯

উত্তর: (ঘ) ৯

৯৮. হেরনের সূত্রে ক্ষেত্রফল?

(ক) √[s(s−a)(s−b)(s−c)] (খ) ½ab (গ) abc (ঘ) abc/2

উত্তর: (ক)

৯৯. ৫-১২-১৩ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল?

(ক) ৩০ (খ) ৬০ (গ) ৬৫ (ঘ) ৭৮

উত্তর: (ক) ৩০

সমকোণী; ½×৫×১২।

১০০. বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে ক্ষেত্রফল?

(ক) দ্বিগুণ (খ) চারগুণ (গ) তিনগুণ (ঘ) অপরিবর্তিত

উত্তর: (খ) চারগুণ

১০১. বৃত্তের ব্যাস দ্বিগুণ হলে পরিধি?

(ক) দ্বিগুণ (খ) চারগুণ (গ) তিনগুণ (ঘ) অপরিবর্তিত

উত্তর: (ক) দ্বিগুণ

১০২. বর্গের বাহু দ্বিগুণ হলে ক্ষেত্রফল?

(ক) দ্বিগুণ (খ) তিনগুণ (গ) চারগুণ (ঘ) ১৬ গুণ

উত্তর: (গ) চারগুণ

১০৩. ঘনকের বাহু দ্বিগুণ হলে আয়তন?

(ক) দ্বিগুণ (খ) তিনগুণ (গ) চারগুণ (ঘ) ৮ গুণ

উত্তর: (ঘ) ৮ গুণ

১০৪. বেলনের উচ্চতা দ্বিগুণ হলে আয়তন?

(ক) দ্বিগুণ (খ) চারগুণ (গ) অপরিবর্তিত (ঘ) ৮ গুণ

উত্তর: (ক) দ্বিগুণ

শুধু h দ্বিগুণ।

১০৫. গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে আয়তন?

(ক) দ্বিগুণ (খ) চারগুণ (গ) ৮ গুণ (ঘ) ১৬ গুণ

উত্তর: (গ) ৮ গুণ