← গণিত টপিকসমূহ | সকল বিষয়ের প্রস্তুতি

বীজগণিত (Algebra)

বীজগণিত গণিতের সেই শাখা যেখানে অজানা সংখ্যাকে অক্ষর (x, y, a, b) দিয়ে প্রকাশ করে সমস্যার সমাধান করা হয়। শব্দটি এসেছে আরবি ‘আল-জাবর’ থেকে; বীজগণিতের জনক আরব গণিতবিদ আল-খাওয়ারিজমি (আনুমানিক ৮২০ খ্রি.)। শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষায় বীজগণিত থেকে মূলত সূত্রভিত্তিক মান নির্ণয়, সমীকরণ সমাধান, সূচক ও লগারিদম আসে।

মূল পরিভাষা

  • চলক (Variable): পরিবর্তনশীল অক্ষর (x, y)।
  • ধ্রুবক (Constant): নির্দিষ্ট সংখ্যা (৩, ৫)।
  • সহগ (Coefficient): চলকের সামনের সংখ্যা (৫x-এ ৫)।
  • পদ (Term): + বা − দিয়ে বিভক্ত অংশ; রাশি (Expression): পদের সমষ্টি (৩x + ৫y − ২)।
  • সমীকরণ (Equation): দুটি রাশির সমতা (৩x + ৫ = ১১)।
পড়ার কৌশল: নিচের সূত্রগুলো মুখস্থের চেয়ে কীভাবে তৈরি হয় তা বুঝুন — বিশেষত (a±b)² ও দ্বিঘাত সূত্র। বুঝে গেলে ভুলে গেলেও পরীক্ষার হলে নিজেই বের করে নিতে পারবেন।

বীজগাণিতিক সূত্র (Identities)

(a+b)² কেন a²+2ab+b²: (a+b)² মানে (a+b)(a+b)। প্রতিটি পদকে প্রতিটি দিয়ে গুণ করলে — a·a + a·b + b·a + b·b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²। একইভাবে (a−b)² = a² − 2ab + b²।
সূত্র
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²)
(a + b)² − (a − b)² = 4ab
a² − b² = (a + b)(a − b)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
a + b + c = 0 হলে a³ + b³ + c³ = 3abc
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
a² + b² = (a + b)² − 2ab = (a − b)² + 2ab
(a + 1/a)² = a² + 1/a² + 2;   (a − 1/a)² = a² + 1/a² − 2
a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ − 3(a + 1/a)
a³ − 1/a³ = (a − 1/a)³ + 3(a − 1/a)

সূত্রের প্রয়োগ কৌশল

পরীক্ষায় সরাসরি সূত্র জিজ্ঞাসা কম হয়; বরং একটি মান দিয়ে অন্যটি বের করতে বলা হয়। কৌশল — যা দেওয়া আছে তার সাথে যা খুঁজছেন তার সেতুবন্ধন সূত্র চিনুন।

উদাহরণ: a + b = 5, ab = 6 হলে a² + b² কত?
a² + b² = (a+b)² − 2ab = ২৫ − ১২ = 13।
উদাহরণ: x + 1/x = 3 হলে x² + 1/x² এবং x³ + 1/x³ কত?
x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = ৯ − ২ = 7।
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x) = ২৭ − ৯ = 18।
চেনার সূত্র: "যোগ ও গুণফল দেওয়া, বর্গের সমষ্টি চাওয়া" → (a+b)² − 2ab। "যোগ ও গুণফল দেওয়া, পার্থক্য চাওয়া" → (a−b)² = (a+b)² − 4ab।

উৎপাদক বিশ্লেষণ (Factorization)

কোনো রাশিকে গুণনীয়কের গুণফল আকারে লেখা = উৎপাদক বিশ্লেষণ। প্রধান কৌশলগুলো:

  • সাধারণ উৎপাদক: ax + ay = a(x + y)।
  • বর্গান্তর: a² − b² = (a+b)(a−b)। যেমন x² − 25 = (x+5)(x−5)।
  • পূর্ণবর্গ: x² + 6x + 9 = (x+3)²।
  • মধ্যপদ ভাঙা (ax²+bx+c): b-কে এমন দুই সংখ্যায় ভাঙুন যাদের যোগ b ও গুণফল ac।
উদাহরণ: x² − 5x + 6 উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
এমন দুই সংখ্যা খুঁজি যাদের যোগ −5, গুণফল +6 → তা হলো −2 ও −3।
= x² − 2x − 3x + 6 = x(x−2) − 3(x−2) = (x−2)(x−3)।
উদাহরণ: x⁴ − 16 কে সম্পূর্ণ উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
= (x²)² − 4² = (x²−4)(x²+4) = (x−2)(x+2)(x²+4)।

সরল ও যুগপৎ সমীকরণ

সরল রৈখিক সমীকরণ (ax + b = 0): একটিমাত্র চলক, ঘাত ১। সমাধান — চলককে এক পাশে এনে ভাগ।

উদাহরণ: 3x + 5 = 20 হলে x = ?
3x = 15 ⇒ x = 5।

যুগপৎ সমীকরণ (দুই চলক)

  • যোগ-বিয়োগ পদ্ধতি: দুই সমীকরণ যোগ/বিয়োগ করে এক চলক বাদ দিন।
  • প্রতিস্থাপন: একটি চলককে অন্যটির রূপে লিখে বসান।
উদাহরণ: x + y = 7 ও x − y = 3 হলে x, y কত?
দুটি যোগ করলে 2x = 10 ⇒ x = 5; তারপর y = 7 − 5 = 2।

দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation)

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) আকারের সমীকরণ, ঘাত ২, তাই সর্বোচ্চ দুটি মূল।

দ্বিঘাত সূত্র কোথা থেকে (বর্গ সম্পূর্ণকরণ): ax²+bx+c=0 কে a দিয়ে ভাগ করে x² + (b/a)x = −c/a। উভয় পাশে (b/2a)² যোগ করে বাঁ পাশ পূর্ণবর্গ করি: (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a²। বর্গমূল নিয়ে —

x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a

নিরূপক (Discriminant) D = b² − 4ac

  • D > 0 → দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল।
  • D = 0 → দুটি সমান বাস্তব মূল।
  • D < 0 → কোনো বাস্তব মূল নেই (জটিল মূল)।
মূলের সমষ্টি ও গুণফল: মূল α, β হলে ax²+bx+c = a(x−α)(x−β)। মিলিয়ে দেখা যায় —

α + β = −b/a,   α × β = c/a

তাই মূল জানা থাকলে সমীকরণ = x² − (মূলের সমষ্টি)x + (মূলের গুণফল) = 0।
উদাহরণ: যে সমীকরণের মূল 2 ও 5, তা লিখুন।
সমষ্টি = 7, গুণফল = 10 ⇒ x² − 7x + 10 = 0।
উদাহরণ: যে সমীকরণের মূল 2+√3 ও 2−√3, তা লিখুন।
সমষ্টি = 4, গুণফল = (2)²−(√3)² = 4−3 = 1 ⇒ x² − 4x + 1 = 0।

সূচক (Indices/Exponents)

aⁿ মানে a-কে n বার গুণ। এর কয়েকটি নিয়ম সব প্রশ্নে কাজে লাগে:

  • a⁰ = 1 (a ≠ 0); a¹ = a; a⁻ⁿ = 1/aⁿ।
  • aᵐ × aⁿ = a^(m+n); aᵐ ÷ aⁿ = a^(m−n)。
  • (aᵐ)ⁿ = a^(mn); (ab)ⁿ = aⁿbⁿ; (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ。
  • a^(1/n) = ⁿ√a; a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ。
সূচক সমীকরণের কৌশল: দুই পাশকে একই ভিত্তিতে (base) আনুন, তারপর ঘাত সমান করুন। যেমন 2^(2x+1) = 8 = 2³ ⇒ 2x+1 = 3 ⇒ x = 1।
উদাহরণ: 4^x = 64 হলে x কত?
64 = 4³, তাই x = 3।

লগারিদম (Logarithm)

লগারিদম হলো সূচকের উল্টো: যদি bˣ = N হয়, তবে log_b N = x। অর্থাৎ "b-কে কত ঘাতে তুললে N হয়" — সেই ঘাতই log।

গুণফলের log যোগ কেন: ধরি log_a M = x ও log_a N = y, অর্থাৎ M = aˣ, N = aʸ। তাহলে MN = aˣ⁺ʸ, সুতরাং log_a(MN) = x + y = log_a M + log_a N। একইভাবে ভাগফলে বিয়োগ, ঘাতে গুণ।
  • log_a(MN) = log_a M + log_a N।
  • log_a(M/N) = log_a M − log_a N।
  • log_a(Mⁿ) = n · log_a M।
  • log_a a = 1; log_a 1 = 0।
  • ভিত্তি পরিবর্তন: log_b a = (log a)/(log b)。
  • log₁₀ — সাধারণ লগ; log_e (ln) — স্বাভাবিক লগ, e ≈ 2.718।
উদাহরণ: log₂ 8 এবং log₃ 81 কত?
2³ = 8, তাই log₂ 8 = 3; 3⁴ = 81, তাই log₃ 81 = 4।

অসমতা ও সেট

অসমতা (Inequality)

  • চিহ্ন: < (ছোট), > (বড়), ≤, ≥, ≠।
  • উভয় পাশে একই সংখ্যা যোগ/বিয়োগ করলে অসমতা অপরিবর্তিত।
  • উভয় পাশে ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ/ভাগে অপরিবর্তিত।
  • উভয় পাশে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ/ভাগ করলে চিহ্ন উল্টে যায় (এটাই সবচেয়ে বড় ভুলের জায়গা)।

সেট (Set)

  • সেট = বস্তুর সংগ্রহ; উপাদান a ∈ A।
  • সংযোগ A ∪ B (উভয়ের সব উপাদান); ছেদ A ∩ B (উভয়ে থাকা)।
  • পার্থক্য A − B (A-তে আছে, B-তে নেই); পরিপূরক A′ = U − A。
  • n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) — ভেন চিত্রের প্রশ্নে অপরিহার্য।
উদাহরণ: ৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ৩০ জন চা, ২৫ জন কফি ও ১০ জন উভয়ই খায়। কেবল চা খায় কতজন?
কেবল চা = চা − উভয় = ৩০ − ১০ = ২০ জন।
(অন্তত একটি খায় = ৩০ + ২৫ − ১০ = ৪৫; কোনোটিই খায় না = ৫০ − ৪৫ = ৫ জন।)

ধাপে ধাপে সমাধানসহ উদাহরণ

উদাহরণ ১: a + b + c = 0 হলে a³ + b³ + c³ কত?
সূত্রানুসারে a + b + c = 0 হলে a³ + b³ + c³ = 3abc।
উদাহরণ ২: a + b = 6, ab = 8 হলে a − b কত?
(a−b)² = (a+b)² − 4ab = 36 − 32 = 4 ⇒ a − b = ±2।
উদাহরণ ৩: a + b = 5, ab = 6 হলে a³ + b³ কত?
= (a+b)³ − 3ab(a+b) = 125 − 3×6×5 = 125 − 90 = 35।
উদাহরণ ৪: x² − 5x − 14 = 0 এর মূল বের করুন।
যোগ −5, গুণফল −14 → দুই সংখ্যা −7 ও +2।
(x−7)(x+2) = 0 ⇒ x = 7 অথবা −2।
উদাহরণ ৫: (x+y)² = 25 ও (x−y)² = 9 হলে xy কত?
(x+y)² − (x−y)² = 4xy ⇒ 25 − 9 = 4xy ⇒ xy = 16/4 = 4।
উদাহরণ ৬: log₂(1/8) কত?
1/8 = 2⁻³, তাই log₂(1/8) = −3।

সাধারণ ভুল ও সতর্কতা

  • (a+b)² = a² + b² ভাবা: মাঝের 2ab পদ বাদ দেওয়া সবচেয়ে সাধারণ ভুল।
  • বর্গমূলে ± ভুলে যাওয়া: x² = 25 হলে x = ±5, শুধু 5 নয়।
  • অসমতায় ঋণাত্মক গুণে চিহ্ন না উল্টানো: −2x < 6 ⇒ x > −3 (চিহ্ন উল্টাবে)।
  • log-এর ভিত্তি ভুলে যাওয়া: log মানে সাধারণত base 10 বা প্রশ্নে দেওয়া base; খেয়াল করুন।
  • সূচকে ভিত্তি না মিলিয়ে ঘাত সমান করা: আগে দুই পাশ একই base-এ আনুন।
  • মূলের সমষ্টিতে চিহ্ন: α+β = −b/a (ঋণচিহ্ন), গুণফল = c/a।

দ্রুত সমাধানের কৌশল

  • সেতু-সূত্র চিনুন: a²+b² চাইলে (a+b)²−2ab; a−b চাইলে √[(a+b)²−4ab]।
  • মূল থেকে সমীকরণ: x² − (সমষ্টি)x + (গুণফল) = 0।
  • সূচক সমীকরণ: একই base-এ এনে ঘাত সমান করুন।
  • log হিসাব: "base-কে কত ঘাতে তুললে সংখ্যাটি হয়" — মনে মনে ঘাত গুনুন।
  • ভেন চিত্র: n(A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B); "কেবল A" = n(A) − n(A∩B)।

সূত্র ও তথ্যের সারসংক্ষেপ

  • (a±b)² = a² ± 2ab + b²; a²−b² = (a+b)(a−b)।
  • (a+b)² + (a−b)² = 2(a²+b²); (a+b)² − (a−b)² = 4ab।
  • (a+b)³ = a³+b³+3ab(a+b); a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²)।
  • a+b+c = 0 হলে a³+b³+c³ = 3abc।
  • দ্বিঘাত সূত্র: x = [−b ± √(b²−4ac)]/2a; D = b²−4ac।
  • D>0 ভিন্ন মূল; D=0 সমান; D<0 জটিল।
  • মূলের সমষ্টি = −b/a; গুণফল = c/a; সমীকরণ = x² − (সমষ্টি)x + (গুণফল)।
  • aᵐ×aⁿ = a^(m+n); (aᵐ)ⁿ = a^(mn); a⁰ = 1; a⁻ⁿ = 1/aⁿ।
  • log(MN)=logM+logN; log(M/N)=logM−logN; log Mⁿ = n logM।
  • n(A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B); বীজগণিতের জনক আল-খাওয়ারিজমি।

প্রশ্ন ও উত্তর (১০০+ MCQ)

১. (a+b)² = ?

(ক) a²+b² (খ) a²+2ab+b² (গ) a²−b² (ঘ) a²−2ab+b²

উত্তর: (খ)

২. (a−b)² = ?

(ক) a²+b² (খ) a²+2ab+b² (গ) a²−2ab+b² (ঘ) a²−b²

উত্তর: (গ)

৩. a²−b² = ?

(ক) (a+b)² (খ) (a−b)² (গ) (a+b)(a−b) (ঘ) (a+b)+(a−b)

উত্তর: (গ)

৪. (a+b)²+(a−b)² = ?

(ক) 2(a²+b²) (খ) 4ab (গ) 2ab (ঘ) a²+b²

উত্তর: (ক)

৫. (a+b)²−(a−b)² = ?

(ক) 2(a²+b²) (খ) 4ab (গ) 2ab (ঘ) a²−b²

উত্তর: (খ) 4ab

৬. (a+b)³ = ?

(ক) a³+b³ (খ) a³+3a²b+3ab²+b³ (গ) (a+b)² (ঘ) a²+b²

উত্তর: (খ)

৭. a³+b³ = ?

(ক) (a+b)³ (খ) (a+b)(a²−ab+b²) (গ) (a−b)(a²+ab+b²) (ঘ) a³−b³

উত্তর: (খ)

৮. a³−b³ = ?

(ক) (a−b)(a²+ab+b²) (খ) (a+b)(a²−ab+b²) (গ) (a−b)³ (ঘ) (a+b)²

উত্তর: (ক)

৯. a+b+c=0 হলে a³+b³+c³=?

(ক) 0 (খ) abc (গ) 2abc (ঘ) 3abc

উত্তর: (ঘ) 3abc

১০. (a+1/a)² = ?

(ক) a²+1/a² (খ) a²+1/a²+2 (গ) a²+1/a²−2 (ঘ) a²−1/a²

উত্তর: (খ)

১১. (a−1/a)² = ?

(ক) a²+1/a²+2 (খ) a²+1/a²−2 (গ) a²−1/a² (ঘ) a²+1/a²

উত্তর: (খ)

১২. (3+4)² = ?

(ক) 25 (খ) 36 (গ) 49 (ঘ) 64

উত্তর: (গ) 49

১৩. (5−3)² = ?

(ক) 4 (খ) 6 (গ) 8 (ঘ) 16

উত্তর: (ক) 4

১৪. 10²−8² = ?

(ক) 36 (খ) 18 (গ) 64 (ঘ) 28

উত্তর: (ক) 36

(10+8)(10−8)=18×2।

১৫. 7²−5² = ?

(ক) 12 (খ) 24 (গ) 36 (ঘ) 49

উত্তর: (খ) 24

১৬. a+b=5, ab=6; a²+b²=?

(ক) 11 (খ) 13 (গ) 25 (ঘ) 36

উত্তর: (খ) 13

১৭. a+b=6, ab=8; a−b=?

(ক) 2 (খ) 4 (গ) 6 (ঘ) 8

উত্তর: (ক) 2

(a−b)²=36−32=4।

১৮. x+1/x=2; x²+1/x²=?

(ক) 0 (খ) 2 (গ) 3 (ঘ) 4

উত্তর: (খ) 2

১৯. x+1/x=3; x²+1/x²=?

(ক) 5 (খ) 7 (গ) 9 (ঘ) 11

উত্তর: (খ) 7

২০. x−1/x=2; x²+1/x²=?

(ক) 4 (খ) 6 (গ) 8 (ঘ) 10

উত্তর: (খ) 6

4+2।

২১. x+1/x=2; x³+1/x³=?

(ক) 0 (খ) 2 (গ) 4 (ঘ) 6

উত্তর: (খ) 2

8−6।

২২. x+1/x=3; x³+1/x³=?

(ক) 12 (খ) 18 (গ) 24 (ঘ) 27

উত্তর: (খ) 18

২৩. ax²+bx+c=0 এর নিরূপক D = ?

(ক) b²−4ac (খ) b²+4ac (গ) 4ac (ঘ) b²

উত্তর: (ক)

২৪. D=0 হলে মূল কেমন?

(ক) দুটি ভিন্ন (খ) দুটি সমান (গ) জটিল (ঘ) নেই

উত্তর: (খ) সমান

২৫. D<0 হলে মূল কেমন?

(ক) ভিন্ন বাস্তব (খ) সমান (গ) জটিল (ঘ) শূন্য

উত্তর: (গ) জটিল

২৬. x²−5x+6=0; মূল?

(ক) 2, 3 (খ) 1, 6 (গ) −2, −3 (ঘ) 5, 1

উত্তর: (ক)

২৭. x²−7x+12=0; মূল?

(ক) 3, 4 (খ) 2, 6 (গ) 1, 12 (ঘ) −3, −4

উত্তর: (ক) 3, 4

২৮. x²+5x+6=0; মূল?

(ক) −2,−3 (খ) 2, 3 (গ) −1,−6 (ঘ) 1, 6

উত্তর: (ক) −2,−3

২৯. মূল 2, 3 হলে সমীকরণ?

(ক) x²−5x+6=0 (খ) x²+5x+6=0 (গ) x²−6x+5=0 (ঘ) x²+6x−5=0

উত্তর: (ক)

৩০. মূল −3, 5 হলে সমীকরণ?

(ক) x²−2x−15=0 (খ) x²+2x−15=0 (গ) x²+2x+15=0 (ঘ) x²−2x+15=0

উত্তর: (ক)

সমষ্টি 2, গুণফল −15।

৩১. মূলের সমষ্টি = ?

(ক) −b/a (খ) b/a (গ) c/a (ঘ) −c/a

উত্তর: (ক)

৩২. মূলের গুণফল = ?

(ক) −b/a (খ) c/a (গ) −c/a (ঘ) a/c

উত্তর: (খ)

৩৩. 2³ × 2⁴ = ?

(ক) 64 (খ) 128 (গ) 256 (ঘ) 512

উত্তর: (খ) 128

৩৪. (5²)³ = ?

(ক) 125 (খ) 625 (গ) 15625 (ঘ) 3125

উত্তর: (গ) 15625

5⁶।

৩৫. a⁰ = ?

(ক) 0 (খ) 1 (গ) a (ঘ) অসংজ্ঞায়িত

উত্তর: (খ) 1

৩৬. a⁻ⁿ = ?

(ক) aⁿ (খ) 1/aⁿ (গ) −aⁿ (ঘ) 0

উত্তর: (খ)

৩৭. 16 = 2^?

(ক) 3 (খ) 4 (গ) 5 (ঘ) 6

উত্তর: (খ) 4

৩৮. 81 = 3^?

(ক) 3 (খ) 4 (গ) 5 (ঘ) 6

উত্তর: (খ) 4

৩৯. 64 = ?

(ক) 2⁶ (খ) 4³ (গ) 8² (ঘ) সবগুলো

উত্তর: (ঘ)

৪০. (2/3)² = ?

(ক) 4/9 (খ) 2/9 (গ) 4/6 (ঘ) 2/6

উত্তর: (ক) 4/9

৪১. ⁿ√a = a^?

(ক) n (খ) 1/n (গ) −n (ঘ) 0

উত্তর: (খ) 1/n

৪২. log₂8 = ?

(ক) 2 (খ) 3 (গ) 4 (ঘ) 5

উত্তর: (খ) 3

৪৩. log₁₀100 = ?

(ক) 1 (খ) 2 (গ) 3 (ঘ) 4

উত্তর: (খ) 2

৪৪. log₃81 = ?

(ক) 2 (খ) 3 (গ) 4 (ঘ) 5

উত্তর: (গ) 4

৪৫. log₁₀1000 = ?

(ক) 2 (খ) 3 (গ) 4 (ঘ) 100

উত্তর: (খ) 3

৪৬. log a + log b = ?

(ক) log(a+b) (খ) log(ab) (গ) log(a/b) (ঘ) log(a−b)

উত্তর: (খ) log(ab)

৪৭. log a − log b = ?

(ক) log(a−b) (খ) log(a/b) (গ) log(ab) (ঘ) log(a+b)

উত্তর: (খ) log(a/b)

৪৮. log_a a = ?

(ক) 0 (খ) 1 (গ) a (ঘ) অসংজ্ঞায়িত

উত্তর: (খ) 1

৪৯. log_a 1 = ?

(ক) 0 (খ) 1 (গ) a (ঘ) অসংজ্ঞায়িত

উত্তর: (ক) 0

৫০. log_a Mⁿ = ?

(ক) M log n (খ) n log_a M (গ) log Mⁿ (ঘ) Mⁿ log a

উত্তর: (খ) n log_a M

৫১. 3x + 5 = 20 হলে x?

(ক) 3 (খ) 4 (গ) 5 (ঘ) 6

উত্তর: (গ) 5

৫২. 2x − 7 = 13 হলে x?

(ক) 8 (খ) 9 (গ) 10 (ঘ) 11

উত্তর: (গ) 10

৫৩. x + y = 5, x − y = 1 হলে x, y?

(ক) 3, 2 (খ) 4, 1 (গ) 5, 0 (ঘ) 2, 3

উত্তর: (ক) 3, 2

৫৪. x + y = 10, xy = 21 হলে x, y?

(ক) 3, 7 (খ) 4, 6 (গ) 5, 5 (ঘ) 2, 8

উত্তর: (ক) 3, 7

৫৫. x² = 144 হলে x?

(ক) 10 (খ) 11 (গ) ±12 (ঘ) 13

উত্তর: (গ) ±12

৫৬. 25x = 5x² হলে x = ?

(ক) 0, 5 (খ) 5, 25 (গ) 0, 25 (ঘ) 1, 5

উত্তর: (ক) 0, 5

৫৭. (a+b)² = 25 ও ab = 12 হলে a² + b² = ?

(ক) 1 (খ) 13 (গ) 25 (ঘ) 49

উত্তর: (ক) 1

25 − 2×12 = 1।

৫৮. x = 2 + √3 হলে 1/x = ?

(ক) 2 − √3 (খ) 2 + √3 (গ) √3 − 2 (ঘ) √3 + 2

উত্তর: (ক) 2 − √3

যৌক্তিকীকরণে: 1/(2+√3) = 2−√3।

৫৯. x+1/x = 5 হলে x²+1/x²?

(ক) 21 (খ) 23 (গ) 25 (ঘ) 27

উত্তর: (খ) 23

25 − 2।

৬০. a+b+c = 6 ও a²+b²+c² = 14 হলে ab+bc+ca = ?

(ক) 8 (খ) 11 (গ) 13 (ঘ) 22

উত্তর: (খ) 11

(36 − 14)/2 = 11।

৬১. (a+b+c)² = ?

(ক) a²+b²+c² (খ) a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) (গ) 3abc (ঘ) (a+b)²+c²

উত্তর: (খ)

৬২. (a+b)(a−b) = ?

(ক) a²+b² (খ) a²−b² (গ) (a+b)² (ঘ) 2ab

উত্তর: (খ)

৬৩. (x+5)(x−5) = ?

(ক) x²+25 (খ) x²−25 (গ) x²+10x+25 (ঘ) x²−10x+25

উত্তর: (খ)

৬৪. x = 5, y = 3 হলে x²+y²?

(ক) 25 (খ) 28 (গ) 34 (ঘ) 64

উত্তর: (গ) 34

৬৫. x²−4x+4 = ?

(ক) (x−2)² (খ) (x+2)² (গ) (x−4)² (ঘ) (x+4)²

উত্তর: (ক)

৬৬. x²+6x+9 = ?

(ক) (x+3)² (খ) (x−3)² (গ) (x+9)² (ঘ) (x+6)²

উত্তর: (ক)

৬৭. 2^(2x+1) = 8 হলে x?

(ক) 0 (খ) 1 (গ) 2 (ঘ) 3

উত্তর: (খ) 1

2x+1=3।

৬৮. 3^x = 27 হলে x?

(ক) 2 (খ) 3 (গ) 4 (ঘ) 5

উত্তর: (খ) 3

৬৯. 5^x = 125 হলে x?

(ক) 2 (খ) 3 (গ) 4 (ঘ) 5

উত্তর: (খ) 3

৭০. 4^x = 64 হলে x?

(ক) 2 (খ) 3 (গ) 4 (ঘ) 6

উত্তর: (খ) 3

৭১. x²−x−6 = 0; মূল?

(ক) 3, −2 (খ) −3, 2 (গ) 2, 3 (ঘ) −2, −3

উত্তর: (ক) 3, −2

৭২. x²+x−12 = 0; মূল?

(ক) 3, −4 (খ) −3, 4 (গ) 4, 3 (ঘ) −4, −3

উত্তর: (ক) 3, −4

৭৩. x²+5x+6 = 0; মূল?

(ক) −2, −3 (খ) 2, 3 (গ) −1, −6 (ঘ) 1, 6

উত্তর: (ক)

৭৪. x² + 10x − 39 = 0 এর ধনাত্মক মূল?

(ক) 3 (খ) 6 (গ) 9 (ঘ) 13

উত্তর: (ক) 3

(x+13)(x−3)=0; ধনাত্মক মূল 3।

৭৫. (a+b)³ = 64 হলে a+b = ?

(ক) 2 (খ) 3 (গ) 4 (ঘ) 5

উত্তর: (গ) 4

৭৬. ab = 6, a+b = 5 হলে a³+b³ = ?

(ক) 35 (খ) 65 (গ) 95 (ঘ) 125

উত্তর: (ক) 35

125 − 90।

৭৭. (a−b)³ = ?

(ক) a³−b³−3ab(a−b) (খ) a³−3a²b+3ab²−b³ (গ) উভয়ই সঠিক (ঘ) a³+b³

উত্তর: (গ)

৭৮. a+b = 10, ab = 21 হলে a−b?

(ক) 2 (খ) 4 (গ) 6 (ঘ) 8

উত্তর: (খ) 4

(a−b)²=100−84=16।

৭৯. x = 3 + √2 হলে x + 1/x = ?

(ক) 5 (খ) 6 (গ) 7 (ঘ) √2

উত্তর: (খ) 6

1/x = 3−√2; যোগফল 6।

৮০. log₅25 = ?

(ক) 1 (খ) 2 (গ) 5 (ঘ) 25

উত্তর: (খ) 2

৮১. log₂(1/8) = ?

(ক) −2 (খ) −3 (গ) 3 (ঘ) 1/3

উত্তর: (খ) −3

৮২. (x+y)²+(x−y)² = ?

(ক) 2(x²+y²) (খ) 4xy (গ) x²+y² (ঘ) x²−y²

উত্তর: (ক)

৮৩. (x+y)²−(x−y)² = ?

(ক) 2(x²+y²) (খ) 4xy (গ) x²−y² (ঘ) x²+y²

উত্তর: (খ) 4xy

৮৪. (2x+3y)(2x−3y) = ?

(ক) 4x²+9y² (খ) 4x²−9y² (গ) 4x²+6xy (ঘ) 4xy

উত্তর: (খ) 4x²−9y²

৮৫. n(A∪B) = ?

(ক) n(A)+n(B) (খ) n(A)+n(B)−n(A∩B) (গ) n(A)×n(B) (ঘ) n(A)−n(B)

উত্তর: (খ)

৮৬. ৫০ জনের মধ্যে চা ৩০, কফি ২৫, উভয় ১০; কেবল চা?

(ক) 5 (খ) 15 (গ) 20 (ঘ) 25

উত্তর: (গ) 20

30 − 10।

৮৭. যে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সমষ্টি −5/2 ও গুণফল 3, তা?

(ক) 2x²+5x+6=0 (খ) 2x²−5x+6=0 (গ) x²+5x+3=0 (ঘ) 2x²+5x−6=0

উত্তর: (ক)

সমষ্টি −b/a=−5/2, গুণফল c/a=3 → a=2,b=5,c=6।

৮৮. একটি সংখ্যা ও তার বর্গের যোগফল 42; সংখ্যাটি?

(ক) 5 (খ) 6 (গ) 7 (ঘ) 8

উত্তর: (খ) 6

6+36=42।

৮৯. একটি সংখ্যার বর্গ থেকে 3 বিয়োগ করলে 22 হয়; সংখ্যাটি?

(ক) ±4 (খ) ±5 (গ) ±6 (ঘ) ±7

উত্তর: (খ) ±5

x²=25।

৯০. x − y = 3 ও x + y = 9 হলে xy = ?

(ক) 12 (খ) 15 (গ) 18 (ঘ) 24

উত্তর: (গ) 18

x=6, y=3।

৯১. x²−x−12 = 0; মূল?

(ক) 4, −3 (খ) −4, 3 (গ) 3, 4 (ঘ) 6, 2

উত্তর: (ক) 4, −3

৯২. মূল 2+√3 ও 2−√3 হলে সমীকরণ?

(ক) x²−4x+1=0 (খ) x²−4x−1=0 (গ) x²+4x+1=0 (ঘ) x²+4x−1=0

উত্তর: (ক)

যোগ 4, গুণ 1।

৯৩. (x+2)²−(x−2)² = ?

(ক) 8 (খ) 8x (গ) 16x (ঘ) 4x

উত্তর: (খ) 8x

4ab=4·x·2।

৯৪. (x+y)²=25, (x−y)²=9 হলে xy?

(ক) 4 (খ) 8 (গ) 16 (ঘ) 25

উত্তর: (ক) 4

(25−9)/4।

৯৫. a/b = 2/3 হলে (a+b)/(a−b) = ?

(ক) −1 (খ) −5 (গ) 5 (ঘ) 1/5

উত্তর: (খ) −5

(2+3)/(2−3)।

৯৬. (3x−2)(3x+2) = ?

(ক) 9x² (খ) 9x²−4 (গ) 9x²+4 (ঘ) 6x

উত্তর: (খ) 9x²−4

৯৭. x⁴−16 = ?

(ক) (x²−4)(x²+4) (খ) (x²+4)² (গ) (x−2)(x+2)(x²+4) (ঘ) (x²−4)²

উত্তর: (গ)

৯৮. (a²−b²)/(a+b) = ?

(ক) a+b (খ) a−b (গ) a²−b² (ঘ) ab

উত্তর: (খ) a−b

৯৯. a²+2ab+b² = ?

(ক) (a+b)² (খ) (a−b)² (গ) a²−b² (ঘ) 2ab

উত্তর: (ক)

১০০. a²−2ab+b² = ?

(ক) (a+b)² (খ) (a−b)² (গ) (a−b) (ঘ) (a+b)(a−b)

উত্তর: (খ)

১০১. −2x < 6 হলে x-এর মান?

(ক) x < −3 (খ) x > −3 (গ) x < 3 (ঘ) x > 3

উত্তর: (খ) x > −3

ঋণাত্মক দিয়ে ভাগে চিহ্ন উল্টায়।

১০২. ‘Algebra’ শব্দটি কোন ভাষা থেকে?

(ক) গ্রিক (খ) লাতিন (গ) আরবি ‘আল-জাবর’ (ঘ) ফারসি

উত্তর: (গ) আরবি

১০৩. বীজগণিতের জনক কে?

(ক) ইউক্লিড (খ) পাইথাগোরাস (গ) আল-খাওয়ারিজমি (ঘ) আর্কিমিডিস

উত্তর: (গ) আল-খাওয়ারিজমি

১০৪. log₈ 2 = ?

(ক) 1/3 (খ) 3 (গ) 1/2 (ঘ) 2

উত্তর: (ক) 1/3

8^(1/3)=2।

১০৫. একটি সমীকরণ সত্য হওয়ার শর্ত?

(ক) দুই পাশের মান সমান (খ) দুই পাশ ভিন্ন (গ) এক পাশ শূন্য (ঘ) কোনোটিই নয়

উত্তর: (ক)