উচ্চতর গণিত (Higher Mathematics)
সেট, বিন্যাস-সমাবেশ, পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা — বিজেএসের গাণিতিক যুক্তির তুলনামূলক আধুনিক অংশ। এই টপিকগুলো প্রথম দেখায় কঠিন মনে হলেও প্রতিটির পেছনে একটিমাত্র মূল সূত্র থাকে; সেটি বুঝে নিলে দ্রুত নম্বর তোলা যায়। নিচে প্রতিটি বিষয় সংজ্ঞা, সূত্র, উদাহরণ, বিগত বিজেএস প্রশ্ন ও অনুশীলনীসহ দেওয়া হলো।
সেট (Set)
সুনির্দিষ্ট ও সুসংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশই সেট; প্রতিটি বস্তুকে উপাদান বলে। n(A) দ্বারা সেট A-এর উপাদান সংখ্যা বোঝায়। দুই সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে ছেদ (∩), আর সব উপাদান নিয়ে সংযোগ (∪) গঠিত হয়। ভেন-চিত্র (Venn diagram) দিয়ে এসব সম্পর্ক সহজে বোঝা যায়।
মূল সূত্র:
- n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)।
- n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) − n(A∩B) − n(B∩C) − n(C∩A) + n(A∩B∩C)।
- n উপাদানের সেটের মোট উপসেট সংখ্যা ২ⁿ; প্রকৃত উপসেট ২ⁿ−১।
- শূন্য/ফাঁকা সেটের উপাদান সংখ্যা ০; এটি সব সেটের উপসেট।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: n(A)=২০, n(B)=৩০, n(A∩B)=১০ হলে n(A∪B) = ?
সমাধান: ২০+৩০−১০ = ৪০।
প্রশ্ন: ৩ উপাদানের সেটের উপসেট কতটি?
সমাধান: ২³ = ৮।
প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৩০ জন বাংলা ও ২৫ জন ইংরেজি নেয়, ১০ জন উভয়টি নেয়; মোট শিক্ষার্থী কত?
সমাধান: ৩০+২৫−১০ = ৪৫।
বিন্যাস (Permutation)
ক্রম বা সাজানোর ধারা গুরুত্বপূর্ণ হলে তাকে বিন্যাস বলে। n টি ভিন্ন বস্তু থেকে r টি নিয়ে সাজানোর সংখ্যা: ⁿPᵣ = n!/(n−r)!। এখানে n! (n-ফ্যাক্টোরিয়াল) মানে ১×২×…×n।
দরকারি তথ্য:
- n টি ভিন্ন বস্তুর সম্পূর্ণ বিন্যাস = n!।
- বৃত্তাকার বিন্যাস = (n−১)!।
- কিছু বস্তু একই হলে পুনরাবৃত্ত বস্তুর সংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়াল দিয়ে ভাগ করতে হয়।
- ০! = ১ এবং ১! = ১।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: ৫টি ভিন্ন বই তাকে কত ভাবে সাজানো যায়?
সমাধান: ৫! = ১২০।
প্রশ্ন: ⁵P₂ = ?
সমাধান: ৫!/৩! = ৫×৪ = ২০।
প্রশ্ন: 'BOOK' শব্দের বর্ণগুলো কত ভাবে সাজানো যায়?
সমাধান: ৪!/২! = ১২ (O দুবার)।
প্রশ্ন: ৪ জনকে বৃত্তাকার টেবিলে কত ভাবে বসানো যায়?
সমাধান: (৪−১)! = ৬।
সমাবেশ (Combination)
ক্রম গুরুত্বপূর্ণ না হয়ে শুধু নির্বাচন গুরুত্বপূর্ণ হলে তাকে সমাবেশ বলে। n টি বস্তু থেকে r টি বাছার সংখ্যা: ⁿCᵣ = n!/[r!(n−r)!]। কমিটি গঠন, দল নির্বাচন — এসবে সমাবেশ লাগে (কারণ সদস্যদের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়)।
দরকারি ধর্ম: ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ; ⁿC₀ = ⁿCₙ = ১; ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!। সমাবেশ সবসময় বিন্যাসের চেয়ে ছোট বা সমান।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: ৬ জন থেকে ২ জনের কমিটি কত ভাবে গঠন করা যায়?
সমাধান: ⁶C₂ = ৬×৫/২ = ১৫।
প্রশ্ন: ⁷C₃ = ?
সমাধান: ৭×৬×৫/৬ = ৩৫।
প্রশ্ন: ১০ জন খেলোয়াড় থেকে ১১... থাক, ৫ জন থেকে ৩ জন কত ভাবে বাছা যায়?
সমাধান: ⁵C₃ = ⁵C₂ = ১০।
পরিসংখ্যান (Statistics)
উপাত্ত সংগ্রহ, উপস্থাপন ও বিশ্লেষণের গণিতই পরিসংখ্যান। কেন্দ্রীয় প্রবণতার তিনটি প্রধান পরিমাপ — গড় (mean), মধ্যক (median) ও প্রচুরক (mode) — একটি উপাত্তসারিকে একটি প্রতিনিধিত্বমূলক সংখ্যায় প্রকাশ করে।
সংজ্ঞা:
- গাণিতিক গড় = সব মানের সমষ্টি ÷ মানের সংখ্যা।
- মধ্যক (Median): মানগুলো ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে মধ্যবর্তী মান; জোড় সংখ্যক হলে দুই মধ্যপদের গড়।
- প্রচুরক (Mode): যে মান সবচেয়ে বেশিবার আছে।
- পরিসর (Range) = সর্বোচ্চ মান − সর্বনিম্ন মান।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: ৩, ৫, ৭, ৯, ১১ — মধ্যক কত?
সমাধান: মধ্যবর্তী মান = ৭।
প্রশ্ন: ২, ৪, ৪, ৬, ৯ — প্রচুরক কত?
সমাধান: সর্বাধিকবার = ৪।
প্রশ্ন: ৪, ৮, ৬, ২, ১০ — গড় কত?
সমাধান: ৩০/৫ = ৬।
প্রশ্ন: ২, ৫, ৮, ১১ — মধ্যক কত?
সমাধান: জোড় সংখ্যক; মধ্য দুই পদের গড় = (৫+৮)/২ = ৬.৫।
সম্ভাব্যতা (Probability)
কোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা মাপার গণিতই সম্ভাব্যতা। সংজ্ঞা: P(E) = অনুকূল ফলাফল সংখ্যা ÷ মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা। সম্ভাব্যতার মান সবসময় ০ (অসম্ভব) থেকে ১ (নিশ্চিত)-এর মধ্যে থাকে।
মূল সূত্র:
- P(ঘটা) + P(না-ঘটা) = ১, তাই P(না-ঘটা) = ১ − P(ঘটা)।
- একটি ছক্কায় মোট ৬টি ফল; নির্দিষ্ট সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা ১/৬।
- একটি মুদ্রায় হেড/টেল প্রতিটির সম্ভাবনা ১/২।
- স্বাধীন দুই ঘটনা একসাথে ঘটার সম্ভাবনা = সম্ভাবনার গুণফল।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা কত?
সমাধান: অনুকূল ২,৪,৬ = ৩; P = ৩/৬ = ১/২।
প্রশ্ন: দুটি মুদ্রায় দুটিই হেড ওঠার সম্ভাবনা কত?
সমাধান: ১/২×১/২ = ১/৪।
প্রশ্ন: ৫২ কার্ড থেকে একটি টেক্কা ওঠার সম্ভাবনা কত?
সমাধান: ৪/৫২ = ১/১৩।
সূত্র-সংকলন ও পরিভাষা
| বিষয় | সূত্র |
|---|---|
| n(A∪B) | n(A)+n(B)−n(A∩B) |
| উপসেট সংখ্যা | ২ⁿ |
| বিন্যাস ⁿPᵣ | n!/(n−r)! |
| সমাবেশ ⁿCᵣ | n!/[r!(n−r)!] |
| বৃত্তাকার বিন্যাস | (n−১)! |
| সম্ভাব্যতা | অনুকূল/মোট |
| গড় | সমষ্টি/সংখ্যা |
| পরিসর | সর্বোচ্চ−সর্বনিম্ন |
পরিভাষা (Glossary)
- উপসেট (Subset): যে সেটের সব উপাদান অন্য সেটে আছে।
- ছেদ (Intersection): উভয় সেটের সাধারণ উপাদান।
- সংযোগ (Union): দুই সেটের সব উপাদান।
- বিন্যাস: ক্রমসহ সাজানো।
- সমাবেশ: ক্রম ছাড়া নির্বাচন।
- মধ্যক (Median): সাজানো উপাত্তের মধ্যবর্তী মান।
- প্রচুরক (Mode): সর্বাধিকবার আসা মান।
- ফ্যাক্টোরিয়াল (n!): ১ থেকে n পর্যন্ত সব স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল।
বাস্তব পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন (সমাধানসহ)
উচ্চতর গণিত থেকে আসা প্রশ্ন অপশনসহ সমাধান করা হলো।
৫টি ভিন্ন বইকে এক সারিতে কত ভাবে সাজানো যায়?
(ক) ১২০ (খ) ৬০ (গ) ২৪ (ঘ) ২৫
উত্তর: (ক) ১২০
ব্যাখ্যা: ৫! = ১২০।
৬ জন থেকে ৩ জনের কমিটি কত ভাবে গঠন করা যায়?
(ক) ২০ (খ) ১৮ (গ) ১৫ (ঘ) ১২
উত্তর: (ক) ২০
ব্যাখ্যা: ⁶C₃ = ২০।
n(A)=১৫, n(B)=২০, n(A∩B)=৫ হলে n(A∪B) = ?
(ক) ৩০ (খ) ৩৫ (গ) ২৫ (ঘ) ৪০
উত্তর: (ক) ৩০
ব্যাখ্যা: ১৫+২০−৫ = ৩০।
একটি ছক্কা নিক্ষেপে ৫ ওঠার সম্ভাবনা কত?
(ক) ১/৬ (খ) ১/২ (গ) ১/৩ (ঘ) ৫/৬
উত্তর: (ক) ১/৬
ব্যাখ্যা: ১/৬।
২, ৪, ৬, ৮, ১০ সংখ্যাগুলোর গড় কত?
(ক) ৬ (খ) ৫ (গ) ৭ (ঘ) ৪
উত্তর: (ক) ৬
ব্যাখ্যা: ৩০/৫ = ৬।
একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কায় হেড ও ৬ ওঠার সম্ভাবনা কত?
(ক) ১/১২ (খ) ১/৬ (গ) ১/২ (ঘ) ১/৮
উত্তর: (ক) ১/১২
ব্যাখ্যা: ১/২×১/৬ = ১/১২।
৪ উপাদানের সেটের উপসেট সংখ্যা কত?
(ক) ১৬ (খ) ৮ (গ) ৪ (ঘ) ৩২
উত্তর: (ক) ১৬
ব্যাখ্যা: ২⁴ = ১৬।
⁷P₂ = কত?
(ক) ৪২ (খ) ১৪ (গ) ২১ (ঘ) ৪৯
উত্তর: (ক) ৪২
ব্যাখ্যা: ৭!/৫! = ৭×৬ = ৪২।
অনুশীলনী (Practice)
নিচের প্রশ্নগুলো অনুশীলন করুন।
সেট
১. n(A)=২০, n(B)=৩০, n(A∩B)=১০ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২০+৩০−১০ = ৪০।
২. n(A)=১৫, n(B)=২৫, n(A∩B)=৫ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৫+২৫−৫ = ৩৫।
৩. n(A)=৪০, n(B)=৫০, n(A∩B)=২০ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪০+৫০−২০ = ৭০।
৪. n(A)=১২, n(B)=১৮, n(A∩B)=৬ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১২+১৮−৬ = ২৪।
৫. n(A)=৩০, n(B)=২০, n(A∩B)=৮ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩০+২০−৮ = ৪২।
৬. n(A)=২৫, n(B)=৩৫, n(A∩B)=১৫ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২৫+৩৫−১৫ = ৪৫।
৭. n(A)=১০, n(B)=১০, n(A∩B)=৪ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১০+১০−৪ = ১৬।
৮. n(A)=৫০, n(B)=৪০, n(A∩B)=২৫ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৫০+৪০−২৫ = ৬৫।
৯. n(A)=১৮, n(B)=২২, n(A∩B)=৯ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮+২২−৯ = ৩১।
১০. n(A)=৬০, n(B)=৩০, n(A∩B)=১০ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৬০+৩০−১০ = ৮০।
১১. n(A)=১৪, n(B)=১৬, n(A∩B)=৭ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৪+১৬−৭ = ২৩।
১২. n(A)=৪৫, n(B)=৫৫, n(A∩B)=২০ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪৫+৫৫−২০ = ৮০।
১৩. n(A)=৮, n(B)=১২, n(A∩B)=৩ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৮+১২−৩ = ১৭।
১৪. n(A)=৩৫, n(B)=২৫, n(A∩B)=১০ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩৫+২৫−১০ = ৫০।
১৫. n(A)=২০, n(B)=২০, n(A∩B)=৫ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২০+২০−৫ = ৩৫।
১৬. n(A)=১০০, n(B)=৫০, n(A∩B)=৩০ হলে n(A∪B) = ?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১০০+৫০−৩০ = ১২০।
বিন্যাস
১৭. ১টি ভিন্ন বস্তুকে কত ভাবে সাজানো যায়?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১! = ১।
১৮. ২টি ভিন্ন বস্তুকে কত ভাবে সাজানো যায়?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২! = ২।
১৯. ৩টি ভিন্ন বস্তুকে কত ভাবে সাজানো যায়?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩! = ৬।
২০. ৪টি ভিন্ন বস্তুকে কত ভাবে সাজানো যায়?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪! = ২৪।
২১. ৫টি ভিন্ন বস্তুকে কত ভাবে সাজানো যায়?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৫! = ১২০।
২২. ৬টি ভিন্ন বস্তুকে কত ভাবে সাজানো যায়?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৬! = ৭২০।
২৩. ৭টি ভিন্ন বস্তুকে কত ভাবে সাজানো যায়?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৭! = ৫০৪০।
২৪. ৮টি ভিন্ন বস্তুকে কত ভাবে সাজানো যায়?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৮! = ৪০৩২০।
২৫. ৩টি ভিন্ন বস্তুকে কত ভাবে সাজানো যায়?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩! = ৬।
২৬. ৪টি ভিন্ন বস্তুকে কত ভাবে সাজানো যায়?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪! = ২৪।
২৭. ৫টি ভিন্ন বস্তুকে কত ভাবে সাজানো যায়?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৫! = ১২০।
২৮. ৬টি ভিন্ন বস্তুকে কত ভাবে সাজানো যায়?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৬! = ৭২০।
২৯. ⁿPᵣ: n=৫, r=২ হলে বিন্যাস কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/(n−r)! = ২০।
৩০. ⁿPᵣ: n=৬, r=২ হলে বিন্যাস কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/(n−r)! = ৩০।
৩১. ⁿPᵣ: n=৭, r=৩ হলে বিন্যাস কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/(n−r)! = ২১০।
৩২. ⁿPᵣ: n=৫, r=৩ হলে বিন্যাস কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/(n−r)! = ৬০।
৩৩. ⁿPᵣ: n=৮, r=২ হলে বিন্যাস কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/(n−r)! = ৫৬।
৩৪. ⁿPᵣ: n=৬, r=৩ হলে বিন্যাস কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/(n−r)! = ১২০।
৩৫. ⁿPᵣ: n=১০, r=২ হলে বিন্যাস কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/(n−r)! = ৯০।
৩৬. ⁿPᵣ: n=৪, r=২ হলে বিন্যাস কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/(n−r)! = ১২।
৩৭. ⁿPᵣ: n=৯, r=২ হলে বিন্যাস কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/(n−r)! = ৭২।
৩৮. ⁿPᵣ: n=৭, r=২ হলে বিন্যাস কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/(n−r)! = ৪২।
সমাবেশ
৩৯. ⁿCᵣ: n=৬, r=২ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ১৫।
৪০. ⁿCᵣ: n=৬, r=৩ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ২০।
৪১. ⁿCᵣ: n=৫, r=২ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ১০।
৪২. ⁿCᵣ: n=৭, r=২ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ২১।
৪৩. ⁿCᵣ: n=৮, r=৩ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ৫৬।
৪৪. ⁿCᵣ: n=১০, r=২ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ৪৫।
৪৫. ⁿCᵣ: n=৫, r=৩ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ১০।
৪৬. ⁿCᵣ: n=৯, r=২ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ৩৬।
৪৭. ⁿCᵣ: n=৭, r=৩ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ৩৫।
৪৮. ⁿCᵣ: n=৪, r=২ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ৬।
৪৯. ⁿCᵣ: n=৮, r=২ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ২৮।
৫০. ⁿCᵣ: n=১০, r=৩ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ১২০।
৫১. ⁿCᵣ: n=৬, r=৪ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ১৫।
৫২. ⁿCᵣ: n=৯, r=৩ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ৮৪।
৫৩. ⁿCᵣ: n=৫, r=৪ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ৫।
৫৪. ⁿCᵣ: n=১২, r=২ হলে সমাবেশ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n!/[r!(n−r)!] = ৬৬।
পরিসংখ্যান: গড়
৫৫. ২, ৪, ৬, ৮, ১০ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩০/৫ = ৬।
৫৬. ৩, ৫, ৭ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৫/৩ = ৫।
৫৭. ১০, ২০, ৩০, ৪০ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১০০/৪ = ২৫।
৫৮. ১, ২, ৩, ৪, ৫ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৫/৫ = ৩।
৫৯. ৫, ১০, ১৫ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩০/৩ = ১০।
৬০. ১২, ১৪, ১৬ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪২/৩ = ১৪।
৬১. ২, ৩, ৪, ৫, ৬ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২০/৫ = ৪।
৬২. ২০, ৪০, ৬০ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১২০/৩ = ৪০।
৬৩. ৭, ৮, ৯ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২৪/৩ = ৮।
৬৪. ১১, ১৩, ১৫ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩৯/৩ = ১৩।
৬৫. ৪, ৮, ১২, ১৬ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪০/৪ = ১০।
৬৬. ৬, ১২, ১৮ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩৬/৩ = ১২।
৬৭. ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪৫/৫ = ৯।
৬৮. ২৫, ৫০, ৭৫, ১০০ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২৫০/৪ = ৬২.৫।
৬৯. ১, ৩, ৫, ৭, ৯ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২৫/৫ = ৫।
৭০. ১০, ১০, ১০ — সংখ্যাগুলোর গড় কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩০/৩ = ১০।
সম্ভাব্যতা ও মিশ্র
৭১. একটি ছক্কায় জোড় সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩/৬ = ১/২।
৭২. একটি ছক্কায় ৩-এর গুণিতক ওঠার সম্ভাবনা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২/৬ = ১/৩।
৭৩. একটি মুদ্রায় হেড ওঠার সম্ভাবনা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১/২।
৭৪. দুটি মুদ্রায় দুটিই হেড ওঠার সম্ভাবনা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১/৪।
৭৫. ৫২ কার্ড থেকে একটি লাল কার্ডের সম্ভাবনা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২৬/৫২ = ১/২।
৭৬. একটি ছক্কায় ৪-এর বেশি ওঠার সম্ভাবনা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২/৬ = ১/৩।
৭৭. ১–১০ থেকে একটি মৌলিক সংখ্যা বাছার সম্ভাবনা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪/১০ = ২/৫।
৭৮. ৫২ কার্ড থেকে একটি টেক্কার সম্ভাবনা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪/৫২ = ১/১৩।
৭৯. ৩, ৫, ৭, ৯, ১১ — মধ্যক কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৭।
৮০. ২, ২, ৩, ৫, ৫, ৫ — প্রচুরক কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৫।
৮১. ৪ উপাদানের সেটের উপসেট সংখ্যা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২⁴ = ১৬।
৮২. ৫ জনকে বৃত্তাকারে কত ভাবে বসানো যায়?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: (৫−১)! = ২৪।
৮৩. 'BALL' শব্দটি কত ভাবে সাজানো যায়?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪!/২! = ১২।
৮৪. একটি ছক্কায় ১ বা ২ ওঠার সম্ভাবনা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২/৬ = ১/৩।