জ্যামিতি (Geometry)
বিন্দু, রেখা, কোণ, ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বৃত্ত ও ঘনবস্তুর আকৃতি এবং পরিমাপ নিয়ে আলোচনা করে জ্যামিতি। "জ্যা" অর্থ ভূমি ও "মিতি" অর্থ পরিমাপ — অর্থাৎ ভূমি পরিমাপ থেকে এর উৎপত্তি। বিজেএসে কোণের হিসাব, ত্রিভুজ ও বৃত্তের ধর্ম, পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং ক্ষেত্রফল-আয়তন-পরিসীমার পরিমিতি (mensuration) থেকে প্রশ্ন আসে।
জ্যামিতিতে অল্প কয়েকটি মৌলিক ধর্ম (তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°, পিথাগোরাস, ক্ষেত্রফলের সূত্র) দিয়েই অধিকাংশ প্রশ্ন সমাধান হয়। প্রতিটি সূত্রের পাশে চিত্রকল্প মনে রাখলে মনে থাকে ভালো।
রেখা ও কোণ
দুটি রশ্মি একই বিন্দু থেকে বের হলে তাদের মধ্যবর্তী ব্যবধানই কোণ। কোণের পরিমাপ অনুযায়ী নামকরণ নিচে দেওয়া হলো:
| কোণ | পরিমাপ |
|---|---|
| সূক্ষ্মকোণ | ০° < কোণ < ৯০° |
| সমকোণ | ৯০° |
| স্থূলকোণ | ৯০°–১৮০° |
| সরলকোণ | ১৮০° |
| প্রবৃদ্ধ কোণ | ১৮০°–৩৬০° |
| পূর্ণকোণ | ৩৬০° |
কোণের সম্পর্ক (মনে রাখুন):
- দুই কোণের সমষ্টি ৯০° হলে পরস্পর পূরক (complementary)।
- দুই কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে পরস্পর সম্পূরক (supplementary)।
- এক সরলরেখায় কোণগুলোর সমষ্টি ১৮০°; এক বিন্দুতে চারপাশের কোণের সমষ্টি ৩৬০°।
- দুই সরলরেখা ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণ (vertically opposite) পরস্পর সমান।
- সমান্তরাল দুই রেখাকে ছেদক কাটলে অনুরূপ কোণ ও একান্তর কোণ সমান হয়।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: একটি কোণের পূরক কোণ ৩৫° হলে কোণটি কত?
সমাধান: ৯০−৩৫ = ৫৫°।
প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত ২:৩ হলে বড় কোণটি কত?
সমাধান: ১৮০×৩/৫ = ১০৮°।
প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের সমান হলে কোণটি কত?
সমাধান: x = ১৮০−x → x = ৯০°।
ত্রিভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য
তিন বাহু ও তিন কোণবিশিষ্ট বদ্ধ চিত্র ত্রিভুজ। জ্যামিতির সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধর্মটি হলো — যেকোনো ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি সর্বদা ১৮০°। আরেকটি দরকারি ধর্ম: ত্রিভুজের যেকোনো বহিঃস্থ কোণ = তার বিপরীত অন্তঃস্থ দুই কোণের সমষ্টি।
| শ্রেণি | বৈশিষ্ট্য |
|---|---|
| সমবাহু | তিন বাহু ও তিন কোণ (প্রতিটি ৬০°) সমান |
| সমদ্বিবাহু | দুই বাহু ও ভূমিসংলগ্ন দুই কোণ সমান |
| বিষমবাহু | তিন বাহু অসমান |
| সমকোণী | একটি কোণ ৯০° |
| সূক্ষ্মকোণী | তিন কোণই ৯০°-এর কম |
| স্থূলকোণী | একটি কোণ ৯০°-এর বেশি |
ক্ষেত্রফল ও দরকারি সূত্র:
- ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা।
- তিন বাহু a,b,c জানা থাকলে (হেরনের সূত্র): ক্ষেত্রফল = √[s(s−a)(s−b)(s−c)], যেখানে s = (a+b+c)/২।
- সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)a²; উচ্চতা = (√৩/২)a।
- ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড়।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: দুই কোণ ৫০° ও ৬০° হলে তৃতীয় কোণ কত?
সমাধান: ১৮০−(৫০+৬০) = ৭০°।
প্রশ্ন: ভূমি ১০ ও উচ্চতা ৬ হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান: ½×১০×৬ = ৩০।
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৪ হলে ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান: (√৩/৪)×১৬ = ৪√৩।
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষকোণ ৪০° হলে ভূমিসংলগ্ন প্রতিটি কোণ কত?
সমাধান: (১৮০−৪০)/২ = ৭০°।
চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য
চার বাহুবিশিষ্ট বদ্ধ চিত্র চতুর্ভুজ; এর চার কোণের সমষ্টি সর্বদা ৩৬০°। বিভিন্ন বিশেষ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমার সূত্র নিচে দেওয়া হলো:
| চিত্র | ক্ষেত্রফল | পরিসীমা |
|---|---|---|
| আয়তক্ষেত্র | দৈর্ঘ্য×প্রস্থ | ২(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ) |
| বর্গক্ষেত্র | বাহু² | ৪×বাহু |
| সামান্তরিক | ভূমি×উচ্চতা | ২(সন্নিহিত বাহুর যোগ) |
| রম্বস | ½×কর্ণ১×কর্ণ২ | ৪×বাহু |
| ট্রাপিজিয়াম | ½×(সমান্তরাল বাহুর যোগ)×উচ্চতা | চার বাহুর যোগ |
কর্ণ: বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √২×বাহু; আয়তের কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য²+প্রস্থ²)। বর্গ ও রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: দৈর্ঘ্য ১২ ও প্রস্থ ৫ আয়তের কর্ণ কত?
সমাধান: √(১৪৪+২৫)=√১৬৯ = ১৩।
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় ৬ ও ৮ হলে ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান: ½×৬×৮ = ২৪।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য
সমকোণী ত্রিভুজের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম: অতিভুজের বর্গ = অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি, অর্থাৎ a² + b² = c² (যেখানে c অতিভুজ)। এটি দূরত্ব, উচ্চতা ও কর্ণ নির্ণয়ে বারবার লাগে।
পিথাগোরীয় ত্রয়ী (মুখস্থ রাখুন): (৩,৪,৫), (৫,১২,১৩), (৮,১৫,১৭), (৭,২৪,২৫), (৯,৪০,৪১) এবং এদের গুণিতক (৬,৮,১০; ৯,১২,১৫; ১০,২৪,২৬ ইত্যাদি)। এই সংখ্যাগুলো দেখলেই সমকোণী ত্রিভুজ চেনা যায়, হিসাব লাগে না।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: দুই বাহু ৬ ও ৮ হলে অতিভুজ কত?
সমাধান: √(৩৬+৬৪) = √১০০ = ১০।
প্রশ্ন: অতিভুজ ১৩, এক বাহু ৫ হলে অপর বাহু কত?
সমাধান: √(১৬৯−২৫) = √১৪৪ = ১২।
প্রশ্ন: একটি মই ভূমি থেকে ৯ ফুট দূরে রেখে ১২ ফুট উঁচু জানালা ছুঁলে মইয়ের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান: √(৯²+১২²)=√২২৫ = ১৫ ফুট।
বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (কেন্দ্র) থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথই বৃত্ত; এই সমদূরত্বই ব্যাসার্ধ (r)। কেন্দ্রগামী জ্যা = ব্যাস = ২r।
বৃত্তের সূত্র ও ধর্ম:
- পরিধি = ২πr = πd; ক্ষেত্রফল = πr²।
- অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = πr + ২r।
- একই চাপে দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সর্বদা ৯০° (সমকোণ)।
- π-এর আসন্ন মান ২২/৭ বা ৩.১৪১৬।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: ৭ সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত? (π=২২/৭)
সমাধান: πr² = ২২/৭×৪৯ = ১৫৪ বর্গ সেমি।
প্রশ্ন: ৭ সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি কত?
সমাধান: ২πr = ২×২২/৭×৭ = ৪৪ সেমি।
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ৪৪ সেমি হলে ব্যাসার্ধ কত? (π=২২/৭)
সমাধান: ২×২২/৭×r=৪৪ → r = ৭ সেমি।
পরিমিতি — সরলক্ষেত্র (Plane Mensuration)
দ্বিমাত্রিক (সমতল) চিত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয়ই সরলক্ষেত্রের পরিমিতি। উপরের ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ ও বৃত্তের সূত্রগুলোই এখানে মূল হাতিয়ার। এই টপিক জমি-মাঠ, ঘর ও বাগান-সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যায় লাগে।
দরকারি অতিরিক্ত সূত্র: সমবাহু ত্রিভুজ ক্ষেত্রফল (√৩/৪)a²; চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ২(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)×উচ্চতা; পথ/বর্ডারসহ ক্ষেত্রফল = বাইরের ক্ষেত্রফল − ভেতরের ক্ষেত্রফল।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: দৈর্ঘ্য ১২ ও প্রস্থ ৫ আয়তের কর্ণ কত?
সমাধান: √(১৪৪+২৫) = √১৬৯ = ১৩।
প্রশ্ন: বাহু ৬ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ কত?
সমাধান: √২×৬ = ৬√২।
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৪০ ও প্রস্থ ৩০ মিটার; চারদিকে ২ মিটার চওড়া পথ থাকলে পথের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান: বাইরের = ৪৪×৩৪=১৪৯৬; ভেতরের = ৪০×৩০=১২০০; পথ = ২৯৬ বর্গমিটার।
পরিমিতি — ঘনবস্তু (Solid Mensuration)
ত্রিমাত্রিক বস্তুর আয়তন ও তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ই ঘনবস্তুর পরিমিতি। ঘনক, আয়তঘনক, সিলিন্ডার, গোলক ও শঙ্কু — এই পাঁচটি প্রধান আকৃতির সূত্র নিচে দেওয়া হলো:
| ঘনবস্তু | আয়তন | সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল |
|---|---|---|
| ঘনক (Cube) | a³ | ৬a² |
| আয়তঘনক | দৈ×প্র×উ | ২(দৈ·প্র+প্র·উ+উ·দৈ) |
| সিলিন্ডার | πr²h | ২πr(r+h) |
| গোলক (Sphere) | (৪/৩)πr³ | ৪πr² |
| শঙ্কু (Cone) | (১/৩)πr²h | πr(r+l) |
মনে রাখুন: ঘনকের কর্ণ = √৩×a; আয়তঘনকের কর্ণ = √(দৈ²+প্র²+উ²)। একই ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার সিলিন্ডার, শঙ্কু ও গোলকের আয়তনের অনুপাত ৩:১:২ (নির্দিষ্ট শর্তে)।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: ধার ৫ সেমি ঘনকের আয়তন কত?
সমাধান: a³ = ১২৫ ঘন সেমি।
প্রশ্ন: দৈর্ঘ্য ৪, প্রস্থ ৩, উচ্চতা ২ আয়তঘনকের আয়তন কত?
সমাধান: ৪×৩×২ = ২৪ ঘন একক।
প্রশ্ন: ধার ৩ সেমি ঘনকের কর্ণ কত?
সমাধান: √৩×৩ = ৩√৩ সেমি।
সূত্র-সংকলন ও পরিভাষা
| চিত্র | ক্ষেত্রফল/আয়তন |
|---|---|
| ত্রিভুজ | ½×ভূমি×উচ্চতা |
| সমবাহু ত্রিভুজ | (√৩/৪)a² |
| আয়তক্ষেত্র | দৈর্ঘ্য×প্রস্থ |
| বর্গক্ষেত্র | বাহু² |
| রম্বস | ½×কর্ণ₁×কর্ণ₂ |
| বৃত্ত | πr² |
| ঘনক | a³ |
| গোলক | (৪/৩)πr³ |
| সিলিন্ডার | πr²h |
পরিভাষা (Glossary)
- অতিভুজ (Hypotenuse): সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বৃহত্তম বাহু।
- ব্যাসার্ধ (Radius): কেন্দ্র থেকে পরিধির দূরত্ব।
- ব্যাস (Diameter): কেন্দ্রগামী জ্যা = ২×ব্যাসার্ধ।
- জ্যা (Chord): বৃত্তের দুই বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ।
- পরিসীমা (Perimeter): চিত্রের চারপাশের দৈর্ঘ্য।
- কর্ণ (Diagonal): বিপরীত কোণবিন্দুর সংযোজক রেখা।
- মধ্যমা (Median): শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখা।
- উপপাদ্য (Theorem): প্রমাণসাপেক্ষ জ্যামিতিক সত্য।
বাস্তব পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন (সমাধানসহ)
জ্যামিতি ও পরিমিতি থেকে আসা প্রশ্ন অপশনসহ সমাধান করা হলো।
একটি ত্রিভুজের দুই কোণ ৫০° ও ৬০° হলে তৃতীয় কোণ কত?
(ক) ৭০° (খ) ৮০° (গ) ৯০° (ঘ) ৬০°
উত্তর: (ক) ৭০°
ব্যাখ্যা: ১৮০−(৫০+৬০) = ৭০°।
সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ৩ ও ৪ হলে অতিভুজ কত?
(ক) ৫ (খ) ৬ (গ) ৭ (ঘ) ৮
উত্তর: (ক) ৫
ব্যাখ্যা: √(৯+১৬)=√২৫=৫।
একটি বর্গের বাহু ৭ সেমি হলে ক্ষেত্রফল কত?
(ক) ৪৯ বর্গসেমি (খ) ১৪ (গ) ২৮ (ঘ) ৪২
উত্তর: (ক) ৪৯ বর্গসেমি
ব্যাখ্যা: বাহু² = ৪৯।
৭ সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি কত? (π=২২/৭)
(ক) ৪৪ সেমি (খ) ২২ (গ) ৪৯ (ঘ) ৩৩
উত্তর: (ক) ৪৪ সেমি
ব্যাখ্যা: ২πr = ৪৪।
দৈর্ঘ্য ১০ ও প্রস্থ ৬ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
(ক) ৬০ (খ) ৩২ (গ) ১৬ (ঘ) ৪৮
উত্তর: (ক) ৬০
ব্যাখ্যা: দৈর্ঘ্য×প্রস্থ = ৬০।
ঘনকের ধার ৪ সেমি হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
(ক) ৯৬ বর্গসেমি (খ) ৬৪ (গ) ৪৮ (ঘ) ১৬
উত্তর: (ক) ৯৬ বর্গসেমি
ব্যাখ্যা: ৬a² = ৯৬।
একটি চতুর্ভুজের তিন কোণ ৯০°, ৮০°, ১০০° হলে চতুর্থ কোণ কত?
(ক) ৯০° (খ) ১০০° (গ) ৮০° (ঘ) ৭০°
উত্তর: (ক) ৯০°
ব্যাখ্যা: ৩৬০−২৭০ = ৯০°।
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ কত?
(ক) ৪৫° (খ) ৬০° (গ) ৯০° (ঘ) ৩০°
উত্তর: (খ) ৬০°
ব্যাখ্যা: তিন কোণ সমান, সমষ্টি ১৮০° → প্রতিটি ৬০°।
অনুশীলনী (Practice)
নিচের প্রশ্নগুলো অনুশীলন করুন।
কোণ
১. ত্রিভুজের দুই কোণ ৫০° ও ৬০° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৫০+৬০) = ৭০°।
২. ত্রিভুজের দুই কোণ ৪০° ও ৭০° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৪০+৭০) = ৭০°।
৩. ত্রিভুজের দুই কোণ ৯০° ও ৪৫° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৯০+৪৫) = ৪৫°।
৪. ত্রিভুজের দুই কোণ ৩০° ও ৯০° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৩০+৯০) = ৬০°।
৫. ত্রিভুজের দুই কোণ ৫৫° ও ৬৫° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৫৫+৬৫) = ৬০°।
৬. ত্রিভুজের দুই কোণ ৮০° ও ২০° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৮০+২০) = ৮০°।
৭. ত্রিভুজের দুই কোণ ৩৫° ও ৩৫° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৩৫+৩৫) = ১১০°।
৮. ত্রিভুজের দুই কোণ ১০০° ও ৪০° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(১০০+৪০) = ৪০°।
৯. ত্রিভুজের দুই কোণ ২৫° ও ২৫° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(২৫+২৫) = ১৩০°।
১০. ত্রিভুজের দুই কোণ ৪৫° ও ৪৫° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৪৫+৪৫) = ৯০°।
১১. ত্রিভুজের দুই কোণ ৬০° ও ৬০° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৬০+৬০) = ৬০°।
১২. ত্রিভুজের দুই কোণ ৭০° ও ২০° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৭০+২০) = ৯০°।
১৩. ত্রিভুজের দুই কোণ ৫০° ও ৫০° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৫০+৫০) = ৮০°।
১৪. ত্রিভুজের দুই কোণ ৩৩° ও ৭৭° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৩৩+৭৭) = ৭০°।
১৫. ত্রিভুজের দুই কোণ ১৫° ও ৯০° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(১৫+৯০) = ৭৫°।
১৬. ত্রিভুজের দুই কোণ ৪৮° ও ৭২° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৪৮+৭২) = ৬০°।
১৭. ত্রিভুজের দুই কোণ ৭২° ও ৩৬° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৭২+৩৬) = ৭২°।
১৮. ত্রিভুজের দুই কোণ ৮৫° ও ৪৫° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৮৫+৪৫) = ৫০°।
১৯. ত্রিভুজের দুই কোণ ২০° ও ১১০° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(২০+১১০) = ৫০°।
২০. ত্রিভুজের দুই কোণ ৬৬° ও ৪৪° হলে তৃতীয় কোণ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১৮০−(৬৬+৪৪) = ৭০°।
পিথাগোরাস
২১. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ৩ ও ৪ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(৯+১৬)=√২৫ = ৫।
২২. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ৬ ও ৮ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(৩৬+৬৪)=√১০০ = ১০।
২৩. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ৫ ও ১২ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(২৫+১৪৪)=√১৬৯ = ১৩।
২৪. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ৮ ও ১৫ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(৬৪+২২৫)=√২৮৯ = ১৭।
২৫. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ৯ ও ১২ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(৮১+১৪৪)=√২২৫ = ১৫।
২৬. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ৭ ও ২৪ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(৪৯+৫৭৬)=√৬২৫ = ২৫।
২৭. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ৯ ও ৪০ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(৮১+১৬০০)=√১৬৮১ = ৪১।
২৮. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ১২ ও ১৬ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(১৪৪+২৫৬)=√৪০০ = ২০।
২৯. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ১৫ ও ২০ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(২২৫+৪০০)=√৬২৫ = ২৫।
৩০. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ১০ ও ২৪ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(১০০+৫৭৬)=√৬৭৬ = ২৬।
৩১. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ২০ ও ২১ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(৪০০+৪৪১)=√৮৪১ = ২৯।
৩২. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ১২ ও ৩৫ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(১৪৪+১২২৫)=√১৩৬৯ = ৩৭।
৩৩. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ৮ ও ৬ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(৬৪+৩৬)=√১০০ = ১০।
৩৪. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ২৪ ও ৭ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(৫৭৬+৪৯)=√৬২৫ = ২৫।
৩৫. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ৪০ ও ৯ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(১৬০০+৮১)=√১৬৮১ = ৪১।
৩৬. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ১৬ ও ১২ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(২৫৬+১৪৪)=√৪০০ = ২০।
৩৭. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ১৮ ও ২৪ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(৩২৪+৫৭৬)=√৯০০ = ৩০।
৩৮. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ৩০ ও ৪০ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(৯০০+১৬০০)=√২৫০০ = ৫০।
৩৯. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ৫ ও ১২ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(২৫+১৪৪)=√১৬৯ = ১৩।
৪০. সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ৯ ও ১২ হলে অতিভুজ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: √(৮১+১৪৪)=√২২৫ = ১৫।
আয়তক্ষেত্র
৪১. দৈর্ঘ্য ১০ ও প্রস্থ ৬ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৬০; পরিসীমা = ২(১০+৬) = ৩২।
৪২. দৈর্ঘ্য ১২ ও প্রস্থ ৫ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৬০; পরিসীমা = ২(১২+৫) = ৩৪।
৪৩. দৈর্ঘ্য ৮ ও প্রস্থ ৮ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৬৪; পরিসীমা = ২(৮+৮) = ৩২।
৪৪. দৈর্ঘ্য ১৫ ও প্রস্থ ১০ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ১৫০; পরিসীমা = ২(১৫+১০) = ৫০।
৪৫. দৈর্ঘ্য ৯ ও প্রস্থ ৪ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৩৬; পরিসীমা = ২(৯+৪) = ২৬।
৪৬. দৈর্ঘ্য ২০ ও প্রস্থ ৩ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৬০; পরিসীমা = ২(২০+৩) = ৪৬।
৪৭. দৈর্ঘ্য ৭ ও প্রস্থ ৭ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৪৯; পরিসীমা = ২(৭+৭) = ২৮।
৪৮. দৈর্ঘ্য ১৪ ও প্রস্থ ৬ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৮৪; পরিসীমা = ২(১৪+৬) = ৪০।
৪৯. দৈর্ঘ্য ১১ ও প্রস্থ ৫ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৫৫; পরিসীমা = ২(১১+৫) = ৩২।
৫০. দৈর্ঘ্য ১৮ ও প্রস্থ ২ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৩৬; পরিসীমা = ২(১৮+২) = ৪০।
৫১. দৈর্ঘ্য ১৩ ও প্রস্থ ১০ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ১৩০; পরিসীমা = ২(১৩+১০) = ৪৬।
৫২. দৈর্ঘ্য ২৫ ও প্রস্থ ৪ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ১০০; পরিসীমা = ২(২৫+৪) = ৫৮।
৫৩. দৈর্ঘ্য ৬ ও প্রস্থ ৬ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৩৬; পরিসীমা = ২(৬+৬) = ২৪।
৫৪. দৈর্ঘ্য ১৬ ও প্রস্থ ৯ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ১৪৪; পরিসীমা = ২(১৬+৯) = ৫০।
৫৫. দৈর্ঘ্য ২২ ও প্রস্থ ৫ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ১১০; পরিসীমা = ২(২২+৫) = ৫৪।
৫৬. দৈর্ঘ্য ৩০ ও প্রস্থ ১০ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৩০০; পরিসীমা = ২(৩০+১০) = ৮০।
৫৭. দৈর্ঘ্য ৯ ও প্রস্থ ৯ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৮১; পরিসীমা = ২(৯+৯) = ৩৬।
৫৮. দৈর্ঘ্য ১২ ও প্রস্থ ৮ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৯৬; পরিসীমা = ২(১২+৮) = ৪০।
৫৯. দৈর্ঘ্য ২৪ ও প্রস্থ ৬ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ১৪৪; পরিসীমা = ২(২৪+৬) = ৬০।
৬০. দৈর্ঘ্য ১৫ ও প্রস্থ ৫ একক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৭৫; পরিসীমা = ২(১৫+৫) = ৪০।
বর্গক্ষেত্র
৬১. বাহু ৩ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৯; পরিসীমা = ৪×৩ = ১২।
৬২. বাহু ৪ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ১৬; পরিসীমা = ৪×৪ = ১৬।
৬৩. বাহু ৫ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ২৫; পরিসীমা = ৪×৫ = ২০।
৬৪. বাহু ৬ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৩৬; পরিসীমা = ৪×৬ = ২৪।
৬৫. বাহু ৭ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৪৯; পরিসীমা = ৪×৭ = ২৮।
৬৬. বাহু ৮ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৬৪; পরিসীমা = ৪×৮ = ৩২।
৬৭. বাহু ৯ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৮১; পরিসীমা = ৪×৯ = ৩৬।
৬৮. বাহু ১০ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ১০০; পরিসীমা = ৪×১০ = ৪০।
৬৯. বাহু ১১ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ১২১; পরিসীমা = ৪×১১ = ৪৪।
৭০. বাহু ১২ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ১৪৪; পরিসীমা = ৪×১২ = ৪৮।
৭১. বাহু ২ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৪; পরিসীমা = ৪×২ = ৮।
৭২. বাহু ১৫ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ২২৫; পরিসীমা = ৪×১৫ = ৬০।
৭৩. বাহু ২০ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৪০০; পরিসীমা = ৪×২০ = ৮০।
৭৪. বাহু ১৩ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ১৬৯; পরিসীমা = ৪×১৩ = ৫২।
৭৫. বাহু ১৪ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ১৯৬; পরিসীমা = ৪×১৪ = ৫৬।
৭৬. বাহু ২৫ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৬২৫; পরিসীমা = ৪×২৫ = ১০০।
৭৭. বাহু ১৬ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ২৫৬; পরিসীমা = ৪×১৬ = ৬৪।
৭৮. বাহু ১৮ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৩২৪; পরিসীমা = ৪×১৮ = ৭২।
৭৯. বাহু ১৭ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ২৮৯; পরিসীমা = ৪×১৭ = ৬৮।
৮০. বাহু ২২ একক বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ৪৮৪; পরিসীমা = ৪×২২ = ৮৮।
ঘনক ও ঘনবস্তু
৮১. ধার ২ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ৮; তল = ৬×২² = ২৪।
৮২. ধার ৩ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ২৭; তল = ৬×৩² = ৫৪।
৮৩. ধার ৪ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ৬৪; তল = ৬×৪² = ৯৬।
৮৪. ধার ৫ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ১২৫; তল = ৬×৫² = ১৫০।
৮৫. ধার ৬ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ২১৬; তল = ৬×৬² = ২১৬।
৮৬. ধার ৭ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ৩৪৩; তল = ৬×৭² = ২৯৪।
৮৭. ধার ৮ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ৫১২; তল = ৬×৮² = ৩৮৪।
৮৮. ধার ৯ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ৭২৯; তল = ৬×৯² = ৪৮৬।
৮৯. ধার ১০ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ১০০০; তল = ৬×১০² = ৬০০।
৯০. ধার ১১ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ১৩৩১; তল = ৬×১১² = ৭২৬।
৯১. ধার ১২ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ১৭২৮; তল = ৬×১২² = ৮৬৪।
৯২. ধার ১ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ১; তল = ৬×১² = ৬।
৯৩. ধার ১৩ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ২১৯৭; তল = ৬×১৩² = ১০১৪।
৯৪. ধার ১৪ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ২৭৪৪; তল = ৬×১৪² = ১১৭৬।
৯৫. ধার ১৫ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ৩৩৭৫; তল = ৬×১৫² = ১৩৫০।
৯৬. ধার ২০ একক ঘনকের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: আয়তন = ৮০০০; তল = ৬×২০² = ২৪০০।