সূচক, লগারিদম ও ধারা
সূচক (indices) বড় গুণফলকে সংক্ষেপে লেখার উপায়, আর লগারিদম হলো সূচকের বিপরীত ক্রিয়া — বড় সংখ্যার গুণ-ভাগকে যোগ-বিয়োগে পরিণত করে হিসাব সহজ করে। অন্যদিকে ধারা (series) হলো নির্দিষ্ট নিয়মে সাজানো সংখ্যার সমষ্টি। বিজেএসে সূচকের সূত্র, লগের মান, করণী (surd), সমান্তর ও গুণোত্তর ধারার পদ ও সমষ্টি থেকে প্রশ্ন আসে।
এই বিষয়গুলোতে অল্প কয়েকটি সূত্রই বারবার কাজে লাগে; সেগুলো ভালোভাবে বুঝে নিলে প্রশ্ন যত ভিন্নভাবেই আসুক, সমাধান করা যায়।
সূচক ও করণী (Indices & Surds)
aⁿ মানে a-কে n বার গুণ; এখানে a ভিত্তি (base) ও n সূচক (exponent/index)। সূচকের সূত্রগুলো গুণ-ভাগকে যোগ-বিয়োগে রূপান্তর করে। যে সংখ্যার মূল অমূলদ (যেমন √২, √৩) তাকে করণী (surd) বলে।
| সূচকের সূত্র | উদাহরণ |
|---|---|
| aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | ২³·২⁴ = ২⁷ |
| aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | ২⁵/২² = ২³ |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (২²)³ = ২⁶ |
| a⁰ = ১ | ৭⁰ = ১ |
| a⁻ⁿ = ১/aⁿ | ২⁻³ = ১/৮ |
| a^(১/n) = ⁿ√a | ৮^(১/৩) = ২ |
| (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (২×৩)² = ৪×৯ |
করণী (Surd) নিয়ম: √a·√b = √(ab); √a/√b = √(a/b); a√c ± b√c = (a±b)√c।
মূলদীকরণ (Rationalization): হর থেকে করণী সরাতে অনুবন্ধী করণী (conjugate) দিয়ে লব-হর গুণ করা হয়; যেমন ১/(√৩−১)-এর হর মূলদ করতে (√৩+১) দিয়ে গুণ করুন।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: ২³ × ২⁴ = ?
সমাধান: ২³⁺⁴ = ২⁷ = ১২৮।
প্রশ্ন: (৩²)³ = ?
সমাধান: ৩⁶ = ৭২৯।
প্রশ্ন: √৫০ কে সরল কর।
সমাধান: √(২৫×২) = ৫√২।
প্রশ্ন: ২⁻³ এর মান কত?
সমাধান: = ১/২³ = ১/৮।
প্রশ্ন: ৮^(২/৩) = ?
সমাধান: (৮^১/৩)² = ২² = ৪।
লগারিদম (Logarithms)
লগারিদম সূচকের বিপরীত ক্রিয়া: aˣ = N হলে logₐN = x লেখা হয় (a-ভিত্তিক N-এর লগ)। অর্থাৎ "কত ঘাত দিলে N পাওয়া যাবে" — তার উত্তরই লগ। সাধারণ লগের ভিত্তি ১০, স্বাভাবিক লগের (ln) ভিত্তি e।
| লগারিদমের সূত্র | প্রয়োগ |
|---|---|
| log(mn) = log m + log n | গুণকে যোগে রূপান্তর |
| log(m/n) = log m − log n | ভাগকে বিয়োগে |
| log mⁿ = n·log m | ঘাত সামনে আনা |
| logₐ a = ১ | একই ভিত্তি |
| logₐ ১ = ০ | যেকোনো ভিত্তিতে |
| logₐ b = log b / log a | ভিত্তি পরিবর্তন |
মুখস্থ রাখুন: log₁₀১০ = ১, log₁₀১০০ = ২, log₁₀১০০০ = ৩; log₂৮ = ৩ (২³=৮), log₂১৬=৪, log₃৮১ = ৪ (৩⁴=৮১), log₅১২৫ = ৩।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: log₂৩২ = ?
সমাধান: ২⁵=৩২ → ৫।
প্রশ্ন: log₁₀১০০০ = ?
সমাধান: ১০³=১০০০ → ৩।
প্রশ্ন: log ৬ কে ভাঙো।
সমাধান: log(২×৩) = log ২ + log ৩।
প্রশ্ন: log₃৮১ = ?
সমাধান: ৩⁴=৮১ → ৪।
সমান্তর অনুক্রম ও ধারা (Arithmetic Progression)
যে অনুক্রমে পরপর দুই পদের অন্তর সমান, তাকে সমান্তর ধারা বলে। যেমন ৩, ৭, ১১, ১৫, … এখানে প্রতিবার ৪ করে বাড়ছে। প্রথম পদকে a এবং সাধারণ অন্তরকে d বলা হয়। এই ধারা সংখ্যা-প্যাটার্ন, বয়স ও কিস্তি-সংক্রান্ত সমস্যায় লাগে।
সূত্র:
- n তম পদ, aₙ = a + (n−১)d।
- প্রথম n পদের সমষ্টি, Sₙ = n/২ [২a + (n−১)d] = n/২ (প্রথম পদ + শেষ পদ)।
- তিনটি পদ সমান্তর হলে মধ্যপদ = দুই প্রান্তের গড়।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: ৩, ৭, ১১, … ধারার ১০ম পদ কত?
সমাধান: a=৩, d=৪; a₁₀ = ৩+৯×৪ = ৩৯।
প্রশ্ন: ১+২+৩+…+১০০ = ?
সমাধান: S = ১০০/২×(১+১০০) = ৫০৫০।
প্রশ্ন: ৫, ৮, ১১, … ধারার প্রথম ২০ পদের সমষ্টি কত?
সমাধান: S = ২০/২[২×৫+১৯×৩] = ১০×৬৭ = ৬৭০।
প্রশ্ন: কোন ধারার ৫ম পদ ১৭ ও ৯ম পদ ৩৩ হলে সাধারণ অন্তর কত?
সমাধান: ৪d = ৩৩−১৭ = ১৬ → d = ৪।
গুণোত্তর অনুক্রম ও ধারা (Geometric Progression)
যে অনুক্রমে পরপর দুই পদের অনুপাত সমান, তাকে গুণোত্তর ধারা বলে। যেমন ২, ৬, ১৮, ৫৪, … এখানে প্রতিবার ৩ গুণ হচ্ছে। প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r। চক্রবৃদ্ধি সুদ, জনসংখ্যা বৃদ্ধি — এসবের ভিত্তি গুণোত্তর ধারা।
সূত্র:
- n তম পদ, aₙ = a·rⁿ⁻¹।
- সমষ্টি, Sₙ = a(rⁿ−১)/(r−১) [r>১]।
- অসীম ধারার সমষ্টি (|r|<১) = a/(১−r)।
সমাধানকৃত উদাহরণ
প্রশ্ন: ২, ৬, ১৮, … ধারার ৫ম পদ কত?
সমাধান: a=২, r=৩; a₅ = ২×৩⁴ = ১৬২।
প্রশ্ন: ১+১/২+১/৪+… অসীম ধারার সমষ্টি কত?
সমাধান: a=১, r=১/২; S = ১/(১−১/২) = ২।
প্রশ্ন: ৩, ৬, ১২, ২৪, … ধারার পরবর্তী পদ কত?
সমাধান: প্রতিবার ২ গুণ → ৪৮।
প্রশ্ন: কোন গুণোত্তর ধারার ২য় পদ ৬ ও ৪র্থ পদ ৫৪ হলে সাধারণ অনুপাত কত?
সমাধান: r² = ৫৪/৬ = ৯ → r = ৩।
সূত্র-সংকলন ও পরিভাষা
| বিষয় | সূত্র |
|---|---|
| সমান্তর n তম পদ | a+(n−১)d |
| সমান্তর সমষ্টি | n/২[২a+(n−১)d] |
| গুণোত্তর n তম পদ | a·rⁿ⁻¹ |
| গুণোত্তর সমষ্টি | a(rⁿ−১)/(r−১) |
| অসীম গুণোত্তর | a/(১−r) |
| ১+২+…+n | n(n+১)/২ |
| ১²+২²+…+n² | n(n+১)(2n+১)/৬ |
| ১³+২³+…+n³ | [n(n+১)/২]² |
পরিভাষা (Glossary)
- সূচক (Exponent/Index): ভিত্তির উপর ঘাত।
- করণী (Surd): অমূলদ মূলবিশিষ্ট রাশি (√২)।
- লগারিদম: সূচকের বিপরীত ক্রিয়া।
- সাধারণ অন্তর (d): সমান্তর ধারার পরপর পদের পার্থক্য।
- সাধারণ অনুপাত (r): গুণোত্তর ধারার পরপর পদের অনুপাত।
- ধারা (Series): অনুক্রমের পদগুলোর যোগফল।
- অনুবন্ধী করণী (Conjugate): মূলদীকরণে ব্যবহৃত জোড়া করণী।
বাস্তব পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন (সমাধানসহ)
সূচক, লগ ও ধারা থেকে আসা প্রশ্ন অপশনসহ সমাধান করা হলো।
২, ৪, ৮, ১৬, … ধারার পরবর্তী পদ কোনটি?
(ক) ৩২ (খ) ২৪ (গ) ৩০ (ঘ) ৩৬
উত্তর: (ক) ৩২
ব্যাখ্যা: প্রতিবার ২ গুণ; পরবর্তী = ৩২।
১+২+৩+…+৫০ = কত?
(ক) ১২৭৫ (খ) ১২৫০ (গ) ১৩০০ (ঘ) ১১২৫
উত্তর: (ক) ১২৭৫
ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৫০×৫১/২ = ১২৭৫।
log₂১৬ = কত?
(ক) ৪ (খ) ৩ (গ) ৫ (ঘ) ২
উত্তর: (ক) ৪
ব্যাখ্যা: ২⁴=১৬ → ৪।
৫, ১০, ১৫, … ধারার ২০তম পদ কত?
(ক) ১০০ (খ) ৯৫ (গ) ১০৫ (ঘ) ৯০
উত্তর: (ক) ১০০
ব্যাখ্যা: ৫+১৯×৫ = ১০০।
৩⁴ = কত?
(ক) ৮১ (খ) ২৭ (গ) ৬৪ (ঘ) ৯
উত্তর: (ক) ৮১
ব্যাখ্যা: ৩×৩×৩×৩ = ৮১।
২+৪+৬+…+১০০ = কত?
(ক) ২৫৫০ (খ) ২৫০০ (গ) ২৬০০ (ঘ) ২৪৫০
উত্তর: (ক) ২৫৫০
ব্যাখ্যা: ২(১+…+৫০) = ২×১২৭৫ = ২৫৫০।
√৭২ কে সরল করলে কত?
(ক) ৬√২ (খ) ৮√২ (গ) ৩√৮ (ঘ) ৯√২
উত্তর: (ক) ৬√২
ব্যাখ্যা: √(৩৬×২) = ৬√২।
২⁰ + ৩⁰ + ৪⁰ = কত?
(ক) ৩ (খ) ১ (গ) ০ (ঘ) ৯
উত্তর: (ক) ৩
ব্যাখ্যা: যেকোনো সংখ্যার শূন্য ঘাত ১; ১+১+১ = ৩।
অনুশীলনী (Practice)
নিচের প্রশ্নগুলো অনুশীলন করুন।
সূচক
১. ২^৩ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৮।
২. ৩^২ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৯।
৩. ২^৪ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ১৬।
৪. ৫^২ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ২৫।
৫. ২^৫ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৩২।
৬. ৩^৩ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ২৭।
৭. ৪^২ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ১৬।
৮. ২^৬ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৬৪।
৯. ১০^২ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ১০০।
১০. ২^৭ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ১২৮।
১১. ৬^২ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৩৬।
১২. ৩^৪ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৮১।
১৩. ২^৮ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ২৫৬।
১৪. ৭^২ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৪৯।
১৫. ২^৯ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৫১২।
১৬. ৪^৩ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৬৪।
১৭. ৫^৩ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ১২৫।
১৮. ২^১০ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ১০২৪।
১৯. ১১^২ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ১২১।
২০. ১২^২ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ১৪৪।
লগারিদম
২১. log_২ ৮ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২^৩=৮ → ৩।
২২. log_২ ১৬ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২^৪=১৬ → ৪।
২৩. log_২ ৩২ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২^৫=৩২ → ৫।
২৪. log_২ ৬৪ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২^৬=৬৪ → ৬।
২৫. log_৩ ৯ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩^২=৯ → ২।
২৬. log_৩ ২৭ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩^৩=২৭ → ৩।
২৭. log_৩ ৮১ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩^৪=৮১ → ৪।
২৮. log_৫ ২৫ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৫^২=২৫ → ২।
২৯. log_৫ ১২৫ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৫^৩=১২৫ → ৩।
৩০. log_১০ ১০০ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১০^২=১০০ → ২।
৩১. log_১০ ১০০০ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১০^৩=১০০০ → ৩।
৩২. log_৪ ১৬ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪^২=১৬ → ২।
৩৩. log_৪ ৬৪ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪^৩=৬৪ → ৩।
৩৪. log_২ ১২৮ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২^৭=১২৮ → ৭।
৩৫. log_৬ ৩৬ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৬^২=৩৬ → ২।
৩৬. log_৭ ৪৯ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৭^২=৪৯ → ২।
৩৭. log_২ ২৫৬ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২^৮=২৫৬ → ৮।
৩৮. log_৩ ২৪৩ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩^৫=২৪৩ → ৫।
৩৯. log_১০ ১০০০০ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১০^৪=১০০০০ → ৪।
৪০. log_৮ ৬৪ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৮^২=৬৪ → ২।
সমান্তর ধারার পদ
৪১. সমান্তর ধারায় a=৩, d=৪ হলে ১০ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ৩+৯×৪ = ৩৯।
৪২. সমান্তর ধারায় a=৫, d=৫ হলে ২০ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ৫+১৯×৫ = ১০০।
৪৩. সমান্তর ধারায় a=২, d=৩ হলে ১৫ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ২+১৪×৩ = ৪৪।
৪৪. সমান্তর ধারায় a=১, d=২ হলে ৫০ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ১+৪৯×২ = ৯৯।
৪৫. সমান্তর ধারায় a=৭, d=৩ হলে ১২ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ৭+১১×৩ = ৪০।
৪৬. সমান্তর ধারায় a=৪, d=৬ হলে ৮ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ৪+৭×৬ = ৪৬।
৪৭. সমান্তর ধারায় a=১০, d=১০ হলে ১০ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ১০+৯×১০ = ১০০।
৪৮. সমান্তর ধারায় a=২, d=২ হলে ২৫ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ২+২৪×২ = ৫০।
৪৯. সমান্তর ধারায় a=৬, d=৪ হলে ৯ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ৬+৮×৪ = ৩৮।
৫০. সমান্তর ধারায় a=১, d=১ হলে ১০০ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ১+৯৯×১ = ১০০।
৫১. সমান্তর ধারায় a=৩, d=৭ হলে ১১ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ৩+১০×৭ = ৭৩।
৫২. সমান্তর ধারায় a=৫, d=২ হলে ৩০ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ৫+২৯×২ = ৬৩।
৫৩. সমান্তর ধারায় a=৮, d=৫ হলে ৭ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ৮+৬×৫ = ৩৮।
৫৪. সমান্তর ধারায় a=২, d=৪ হলে ২০ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ২+১৯×৪ = ৭৮।
৫৫. সমান্তর ধারায় a=৯, d=৩ হলে ১০ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ৯+৯×৩ = ৩৬।
৫৬. সমান্তর ধারায় a=১, d=৩ হলে ৪০ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ১+৩৯×৩ = ১১৮।
৫৭. সমান্তর ধারায় a=৪, d=৪ হলে ১৫ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ৪+১৪×৪ = ৬০।
৫৮. সমান্তর ধারায় a=২, d=৫ হলে ১২ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ২+১১×৫ = ৫৭।
৫৯. সমান্তর ধারায় a=১০, d=৫ হলে ৮ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ১০+৭×৫ = ৪৫।
৬০. সমান্তর ধারায় a=৬, d=২ হলে ২০ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a+(n−১)d = ৬+১৯×২ = ৪৪।
ধারার সমষ্টি
৬১. ১+২+৩+…+১০ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ১০×১১/২ = ৫৫।
৬২. ১+২+৩+…+২০ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ২০×২১/২ = ২১০।
৬৩. ১+২+৩+…+৩০ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৩০×৩১/২ = ৪৬৫।
৬৪. ১+২+৩+…+৪০ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৪০×৪১/২ = ৮২০।
৬৫. ১+২+৩+…+৫০ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৫০×৫১/২ = ১২৭৫।
৬৬. ১+২+৩+…+৬০ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৬০×৬১/২ = ১৮৩০।
৬৭. ১+২+৩+…+৭০ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৭০×৭১/২ = ২৪৮৫।
৬৮. ১+২+৩+…+৮০ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৮০×৮১/২ = ৩২৪০।
৬৯. ১+২+৩+…+৯০ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৯০×৯১/২ = ৪০৯৫।
৭০. ১+২+৩+…+১০০ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ১০০×১০১/২ = ৫০৫০।
৭১. ১+২+৩+…+১৫ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ১৫×১৬/২ = ১২০।
৭২. ১+২+৩+…+২৫ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ২৫×২৬/২ = ৩২৫।
৭৩. ১+২+৩+…+৪৫ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৪৫×৪৬/২ = ১০৩৫।
৭৪. ১+২+৩+…+৫৫ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৫৫×৫৬/২ = ১৫৪০।
৭৫. ১+২+৩+…+৭৫ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৭৫×৭৬/২ = ২৮৫০।
৭৬. ১+২+৩+…+৯৯ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৯৯×১০০/২ = ৪৯৫০।
৭৭. ১+২+৩+…+৩৫ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৩৫×৩৬/২ = ৬৩০।
৭৮. ১+২+৩+…+৬৫ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৬৫×৬৬/২ = ২১৪৫।
৭৯. ১+২+৩+…+৮৫ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ৮৫×৮৬/২ = ৩৬৫৫।
৮০. ১+২+৩+…+১২ = কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: n(n+১)/২ = ১২×১৩/২ = ৭৮।
গুণোত্তর ধারার পদ
৮১. গুণোত্তর ধারায় a=২, r=৩ হলে ৫ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ২×৩^৪ = ১৬২।
৮২. গুণোত্তর ধারায় a=১, r=২ হলে ৮ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ১×২^৭ = ১২৮।
৮৩. গুণোত্তর ধারায় a=৩, r=২ হলে ৬ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ৩×২^৫ = ৯৬।
৮৪. গুণোত্তর ধারায় a=২, r=২ হলে ৭ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ২×২^৬ = ১২৮।
৮৫. গুণোত্তর ধারায় a=১, r=৩ হলে ৫ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ১×৩^৪ = ৮১।
৮৬. গুণোত্তর ধারায় a=৫, r=২ হলে ৪ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ৫×২^৩ = ৪০।
৮৭. গুণোত্তর ধারায় a=২, r=৪ হলে ৪ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ২×৪^৩ = ১২৮।
৮৮. গুণোত্তর ধারায় a=১, r=২ হলে ১০ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ১×২^৯ = ৫১২।
৮৯. গুণোত্তর ধারায় a=৩, r=৩ হলে ৪ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ৩×৩^৩ = ৮১।
৯০. গুণোত্তর ধারায় a=৪, r=২ হলে ৫ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ৪×২^৪ = ৬৪।
৯১. গুণোত্তর ধারায় a=১, r=৫ হলে ৩ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ১×৫^২ = ২৫।
৯২. গুণোত্তর ধারায় a=২, r=৫ হলে ৩ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ২×৫^২ = ৫০।
৯৩. গুণোত্তর ধারায় a=৩, r=২ হলে ৭ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ৩×২^৬ = ১৯২।
৯৪. গুণোত্তর ধারায় a=১, r=২ হলে ৬ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ১×২^৫ = ৩২।
৯৫. গুণোত্তর ধারায় a=২, r=৩ হলে ৪ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ২×৩^৩ = ৫৪।
৯৬. গুণোত্তর ধারায় a=১, r=৪ হলে ৪ তম পদ কত?
উত্তর ও ব্যাখ্যা: a·rⁿ⁻¹ = ১×৪^৩ = ৬৪।