বীজগণিত (Algebra)

অজানা রাশিকে অক্ষর (চলক) দিয়ে প্রকাশ করে সাধারণ নিয়মে সমস্যা সমাধানের শাখাই বীজগণিত। পাটিগণিত যেখানে নির্দিষ্ট সংখ্যা নিয়ে কাজ করে, বীজগণিত সেখানে চলক দিয়ে সাধারণ সম্পর্ক প্রকাশ করে — তাই একটি সূত্র অসংখ্য সমস্যায় প্রয়োগ করা যায়। বিসিএসে বীজগাণিতিক অভেদ (identity), উৎপাদক বিশ্লেষণ, সমীকরণ ও অসমতা, এবং সহসমীকরণ থেকে নিয়মিত প্রশ্ন আসে।

এই অধ্যায়ের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অংশ হলো কয়েকটি মৌলিক অভেদ, যেগুলো মুখস্থ ও দ্রুত প্রয়োগ করতে পারলে অধিকাংশ প্রশ্ন মুখে-মুখেই সমাধান করা যায়। নিচে প্রতিটি বিষয় সংজ্ঞা, সূত্রের ব্যাখ্যা, একাধিক সমাধানকৃত উদাহরণ, বিগত বিসিএস প্রশ্ন ও বিস্তারিত অনুশীলনীসহ সাজানো হয়েছে।

মৌলিক পরিভাষা

পরিভাষাঅর্থউদাহরণ
চলক (Variable)অজানা রাশির প্রতীকx, y, z
ধ্রুবক (Constant)নির্দিষ্ট মানবিশিষ্ট রাশি৫, −৩
সহগ (Coefficient)চলকের সাথে গুণিত সংখ্যা৩x-এ ৩
পদ (Term)যোগ/বিয়োগ চিহ্নে বিভক্ত অংশ৩x, −৫y
বহুপদী (Polynomial)এক বা একাধিক পদের রাশিx²+৩x+২
মাত্রা (Degree)চলকের সর্বোচ্চ ঘাতx³-এ ৩

মনে রাখুন: সমমাত্রিক পদ (like terms) — যেমন ৩x ও ৫x — যোগ-বিয়োগ করা যায়; কিন্তু ৩x ও ৩x² ভিন্ন মাত্রার, তাই যোগ করা যায় না। বীজগণিতে ক্রিয়ার ক্রম BODMAS মেনে চলে: বন্ধনী → ঘাত → গুণ/ভাগ → যোগ/বিয়োগ।

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি (Identities)

অভেদ (identity) হলো এমন সমতা যা চলকের সব মানের জন্য সত্য। নিচের অভেদগুলো বীজগণিতের মেরুদণ্ড। প্রতিটি অভেদ বাম থেকে ডানে (বিস্তার) এবং ডান থেকে বামে (সংক্ষেপণ/উৎপাদক) — দুই দিকেই প্রয়োগ করতে শিখতে হবে।

অভেদবিস্তৃত রূপ / প্রয়োগ
(a+b)²a² + 2ab + b² = (a−b)² + 4ab
(a−b)²a² − 2ab + b² = (a+b)² − 4ab
a² + b²(a+b)² − 2ab = (a−b)² + 2ab
a² − b²(a+b)(a−b)
(a+b)³a³ + b³ + 3ab(a+b)
(a−b)³a³ − b³ − 3ab(a−b)
a³ + b³(a+b)(a²−ab+b²) = (a+b)³ − 3ab(a+b)
a³ − b³(a−b)(a²+ab+b²) = (a−b)³ + 3ab(a−b)
(a+b+c)²a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)
a³+b³+c³−3abc(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)

বিসিএসে সবচেয়ে বেশি আসা দ্রুত-প্রয়োগ:

  • a + ১/a = m হলে — a² + ১/a² = m²−২; a³ + ১/a³ = m³−৩m।
  • a − ১/a = m হলে — a² + ১/a² = m²+২।
  • a+b ও ab জানা থাকলে a²+b² = (a+b)²−2ab; আবার a−b = √[(a+b)²−4ab]।
  • a²−b² = (a+b)(a−b) — তাই a+b = (a²−b²)/(a−b)।

সমাধানকৃত উদাহরণ

প্রশ্ন: a+b=৭ ও ab=১০ হলে a²+b² = ?

সমাধান: (a+b)²−2ab = ৪৯−২০ = ২৯।

প্রশ্ন: x+১/x = ৩ হলে x²+১/x² = ?

সমাধান: = ৩²−২ = ৭।

প্রশ্ন: x+১/x = ৩ হলে x³+১/x³ = ?

সমাধান: = ৩³−৩×৩ = ২৭−৯ = ১৮।

প্রশ্ন: a−b=৪, ab=৫ হলে a²+b² = ?

সমাধান: (a−b)²+2ab = ১৬+১০ = ২৬।

প্রশ্ন: a+b=১০, a−b=৪ হলে ab = ?

সমাধান: ab = [(a+b)²−(a−b)²]/৪ = (১০০−১৬)/৪ = ২১।

উৎপাদক বিশ্লেষণ (Factorization)

কোনো বীজগাণিতিক রাশিকে দুই বা ততোধিক উৎপাদকের গুণফলে প্রকাশ করাই উৎপাদক বিশ্লেষণ। সমীকরণ সমাধান, সরলীকরণ ও ভগ্নাংশ ছোট করা — সর্বত্র উৎপাদক লাগে। প্রধান কৌশল চারটি: (১) সাধারণ উৎপাদক গ্রহণ, (২) অভেদ প্রয়োগ, (৩) মধ্যপদ বিভাজন, এবং (৪) গ্রুপিং।

মধ্যপদ বিভাজন: x² + px + q উৎপাদক করতে এমন দুটি সংখ্যা খুঁজুন যাদের যোগফল p ও গুণফল q। যেমন x²+৫x+৬ = x²+৩x+২x+৬ = x(x+৩)+২(x+৩) = (x+২)(x+৩)।
ax²+bx+c আকারে: a×c-এর মান নিয়ে এমন দুটি সংখ্যা নিন যাদের যোগফল b।

সমাধানকৃত উদাহরণ

প্রশ্ন: x²−৯ এর উৎপাদক কী?

সমাধান: a²−b² সূত্রে = (x+৩)(x−৩)।

প্রশ্ন: x²+৭x+১২ এর উৎপাদক কী?

সমাধান: ৩+৪=৭, ৩×৪=১২ → (x+৩)(x+৪)।

প্রশ্ন: x²−৫x+৬ এর উৎপাদক কী?

সমাধান: −২ ও −৩ (যোগ −৫, গুণ ৬) → (x−২)(x−৩)।

প্রশ্ন: a³−b³ যেখানে a=৩,b=২ এর মান কত?

সমাধান: (a−b)(a²+ab+b²) = ১×(৯+৬+৪) = ১৯।

প্রশ্ন: x² − y² = ৪০ ও x + y = ১০ হলে x − y = ?

সমাধান: (x²−y²)/(x+y) = ৪০/১০ = ৪।

সমীকরণ (Equations)

যে সমতা কেবল চলকের নির্দিষ্ট মানে সিদ্ধ হয়, তাকে সমীকরণ বলে (অভেদের বিপরীত, যা সব মানে সত্য)। একঘাত বা রৈখিক সমীকরণে (ax+b=০) একটি সমাধান; দ্বিঘাত সমীকরণে (ax²+bx+c=০) দুটি মূল থাকে। শব্দসমস্যা (word problem) সমাধানের মূল কৌশল হলো অজানাকে চলক ধরে শর্ত থেকে সমীকরণ গঠন করা।

দ্বিঘাত সমীকরণ ax²+bx+c=০:

  • মূল, x = [−b ± √(b²−4ac)] / 2a।
  • মূলদ্বয়ের যোগফল = −b/a; মূলদ্বয়ের গুণফল = c/a।
  • নিরূপক (discriminant) D = b²−4ac। D>০ → দুটি বাস্তব ভিন্ন মূল; D=০ → দুটি সমান মূল; D<০ → কোনো বাস্তব মূল নেই।

সমাধানকৃত উদাহরণ

প্রশ্ন: ৩x−৭ = ১৪ হলে x = ?

সমাধান: ৩x = ২১ → x = ৭।

প্রশ্ন: x²−৫x+৬=০ এর মূলদ্বয় কত?

সমাধান: (x−২)(x−৩)=০ → x = ২ বা ৩।

প্রশ্ন: x²−৭x+১০=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

সমাধান: যোগফল = −b/a = ৭, গুণফল = c/a = ১০।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণ থেকে ৫ বিয়োগ করলে ১৬ হয়; সংখ্যাটি কত?

সমাধান: ৩x−৫=১৬ → ৩x=২১ → x = ৭।

প্রশ্ন: দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল ৯; স্থান বিনিময়ে সংখ্যাটি ২৭ বাড়ে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: একক x, দশক (৯−x); (৯−x)+x... স্থান বিনিময়ে ৯(x−(৯−x))=২৭ → পার্থক্য ৩ → অঙ্ক ৩ ও ৬; সংখ্যা ৩৬।

অসমতা (Inequalities)

দুটি রাশির মধ্যে বড়/ছোট সম্পর্ক প্রকাশকারী বাক্যই অসমতা (<, >, ≤, ≥)। অসমতা সমীকরণের মতোই সমাধান করা হয়, তবে একটি গুরুত্বপূর্ণ ব্যতিক্রম আছে: ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে উভয় পক্ষকে গুণ বা ভাগ করলে অসমতার দিক (চিহ্ন) উল্টে যায়। এই একটি নিয়ম না মানলেই ভুল হয়।

সমাধানকৃত উদাহরণ

প্রশ্ন: ২x+৩ > ১১ হলে x এর মান?

সমাধান: ২x > ৮ → x > ৪।

প্রশ্ন: −৩x > ৯ হলে x = ?

সমাধান: ঋণাত্মক দিয়ে ভাগ, দিক উল্টাবে → x < −৩।

প্রশ্ন: ৫ − ২x ≤ ১ হলে x = ?

সমাধান: −২x ≤ −৪; দিক উল্টে → x ≥ ২।

প্রশ্ন: ৩ < x + ১ < ৭ হলে x এর মান কোথায়?

সমাধান: সব পক্ষ থেকে ১ বিয়োগ → ২ < x < ৬।

সহসমীকরণ (Simultaneous Equations)

দুই চলকবিশিষ্ট দুটি স্বাধীন সমীকরণ একসাথে সমাধান করে চলক দুটির মান বের করা হয়। দুটি মূল পদ্ধতি: অপনয়ন (elimination) — কোনো এক চলকের সহগ সমান করে যোগ/বিয়োগ; এবং প্রতিস্থাপন (substitution) — এক সমীকরণ থেকে এক চলককে অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করে বসিয়ে দেওয়া।

সমাধানকৃত উদাহরণ

প্রশ্ন: x+y=১০, x−y=৪ হলে x,y = ?

সমাধান: দুটি যোগ করে ২x=১৪ → x=৭; y=৩।

প্রশ্ন: ২x+y=৭, x+y=৫ হলে x,y = ?

সমাধান: বিয়োগ করে x=২; y=৩।

প্রশ্ন: ৩x+২y=১৬, x=২y হলে y = ?

সমাধান: প্রতিস্থাপন: ৩(২y)+২y=১৬ → ৮y=১৬ → y=২।

সূত্র-সংকলন ও পরিভাষা

পরীক্ষার আগে দ্রুত রিভিশনের জন্য বীজগণিতের মূল সূত্রগুলো এক জায়গায়:

বিষয়সূত্র
দ্বিঘাত মূল[−b±√(b²−4ac)]/2a
মূলের যোগফল−b/a
মূলের গুণফলc/a
a²+b²(a+b)²−2ab
a³+b³(a+b)³−3ab(a+b)
a+1/a=ma²+1/a²=m²−2
a−1/a=ma²+1/a²=m²+2
নিরূপক Db²−4ac
a²−b²(a+b)(a−b)

পরিভাষা (Glossary)

  • চলক (Variable): অজানা রাশির প্রতীক (x, y)।
  • ধ্রুবক (Constant): নির্দিষ্ট মানবিশিষ্ট রাশি।
  • সহগ (Coefficient): চলকের সাথে গুণিত সংখ্যা।
  • অভেদ (Identity): চলকের সব মানে সত্য সমতা।
  • নিরূপক (Discriminant): b²−4ac, মূলের প্রকৃতি নির্ধারক।
  • উৎপাদক (Factor): গুণফলে প্রকাশের প্রতিটি অংশ।
  • বহুপদী (Polynomial): একাধিক পদবিশিষ্ট বীজগাণিতিক রাশি।
  • মাত্রা (Degree): কোনো পদে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত।

বিগত বিসিএসে আসা প্রশ্ন (সমাধানসহ)

বীজগণিত থেকে আসা প্রতিনিধিত্বমূলক প্রশ্ন অপশনসহ সমাধান করা হলো।

৪৩তম বিসিএস

a+b=৫, ab=৬ হলে a²+b² কত?

(ক) ১৩ (খ) ১৯ (গ) ২৫ (ঘ) ১১

উত্তর: (ক) ১৩

ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ২৫−১২ = ১৩।

৪০তম বিসিএস

x²−৫x+৬=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল কত?

(ক) ৫ (খ) ৬ (গ) −৫ (ঘ) ১

উত্তর: (ক) ৫

ব্যাখ্যা: যোগফল = −b/a = ৫।

৩৮তম বিসিএস

x+১/x=৪ হলে x²+১/x² = ?

(ক) ১৪ (খ) ১৬ (গ) ১৮ (ঘ) ১২

উত্তর: (ক) ১৪

ব্যাখ্যা: = ৪²−২ = ১৪।

৩৬তম বিসিএস

a²−b² = ১৫ ও a−b = ৩ হলে a+b = ?

(ক) ৫ (খ) ৩ (গ) ১৮ (ঘ) ৬

উত্তর: (ক) ৫

ব্যাখ্যা: a+b = ১৫/৩ = ৫।

৪৪তম বিসিএস

২x+৩ = ১১ হলে x = ?

(ক) ৪ (খ) ৫ (গ) ৩ (ঘ) ৭

উত্তর: (ক) ৪

ব্যাখ্যা: ২x=৮ → x=৪।

৪৫তম বিসিএস

(x+৩)(x−৩) এর মান কত?

(ক) x²−৯ (খ) x²+৯ (গ) x²−৬ (ঘ) ৯−x²

উত্তর: (ক) x²−৯

ব্যাখ্যা: a²−b² অভেদ → x²−৯।

৪৭তম বিসিএস

x−১/x=২ হলে x²+১/x² = ?

(ক) ৬ (খ) ৪ (গ) ২ (ঘ) ৮

উত্তর: (ক) ৬

ব্যাখ্যা: = ২²+২ = ৬।

৪২তম বিসিএস

x²−৯x+২০=০ এর মূলদ্বয় কত?

(ক) ৪ ও ৫ (খ) ২ ও ১০ (গ) ১ ও ২০ (ঘ) ৩ ও ৬

উত্তর: (ক) ৪ ও ৫

ব্যাখ্যা: (x−৪)(x−৫)=০।

অনুশীলনী (Practice)

নিচের প্রশ্নগুলো নিজে সমাধান করে ব্যাখ্যা মিলিয়ে নিন।

অভেদ: a²+b²

১. a+b=৭ ও ab=১০ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ৪৯−২০ = ২৯।

২. a+b=৫ ও ab=৬ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ২৫−১২ = ১৩।

৩. a+b=৯ ও ab=২০ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ৮১−৪০ = ৪১।

৪. a+b=৬ ও ab=৮ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ৩৬−১৬ = ২০।

৫. a+b=৮ ও ab=১৫ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ৬৪−৩০ = ৩৪।

৬. a+b=১০ ও ab=২১ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ১০০−৪২ = ৫৮।

৭. a+b=১১ ও ab=২৪ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ১২১−৪৮ = ৭৩।

৮. a+b=৪ ও ab=৩ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ১৬−৬ = ১০।

৯. a+b=১২ ও ab=৩৫ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ১৪৪−৭০ = ৭৪।

১০. a+b=১৩ ও ab=৪০ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ১৬৯−৮০ = ৮৯।

১১. a+b=৫ ও ab=৪ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ২৫−৮ = ১৭।

১২. a+b=৭ ও ab=১২ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ৪৯−২৪ = ২৫।

১৩. a+b=৯ ও ab=১৮ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ৮১−৩৬ = ৪৫।

১৪. a+b=৬ ও ab=৫ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ৩৬−১০ = ২৬।

১৫. a+b=৮ ও ab=৭ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ৬৪−১৪ = ৫০।

১৬. a+b=১৪ ও ab=৪৫ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ১৯৬−৯০ = ১০৬।

১৭. a+b=১০ ও ab=১৬ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ১০০−৩২ = ৬৮।

১৮. a+b=১৫ ও ab=৫০ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ২২৫−১০০ = ১২৫।

১৯. a+b=১১ ও ab=২৮ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ১২১−৫৬ = ৬৫।

২০. a+b=৬ ও ab=৯ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ৩৬−১৮ = ১৮।

২১. a+b=৮ ও ab=১২ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ৬৪−২৪ = ৪০।

২২. a+b=১০ ও ab=২৪ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ১০০−৪৮ = ৫২।

২৩. a+b=৭ ও ab=৬ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ৪৯−১২ = ৩৭।

২৪. a+b=৯ ও ab=১৪ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ৮১−২৮ = ৫৩।

২৫. a+b=১২ ও ab=২০ হলে a²+b² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: (a+b)²−2ab = ১৪৪−৪০ = ১০৪।

x+১/x ধরনের সমস্যা

২৬. x+১/x=২ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ২²−২ = ২।

২৭. x+১/x=৩ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৩²−২ = ৭।

২৮. x+১/x=৪ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৪²−২ = ১৪।

২৯. x+১/x=৫ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৫²−২ = ২৩।

৩০. x+১/x=৬ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৬²−২ = ৩৪।

৩১. x+১/x=৭ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৭²−২ = ৪৭।

৩২. x+১/x=৮ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৮²−২ = ৬২।

৩৩. x+১/x=৯ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৯²−২ = ৭৯।

৩৪. x+১/x=১০ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ১০²−২ = ৯৮।

৩৫. x+১/x=১১ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ১১²−২ = ১১৯।

৩৬. x+১/x=১২ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ১২²−২ = ১৪২।

৩৭. x+১/x=১৩ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ১৩²−২ = ১৬৭।

৩৮. x−১/x=১ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ১²+২ = ৩।

৩৯. x−১/x=২ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ২²+২ = ৬।

৪০. x−১/x=৩ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৩²+২ = ১১।

৪১. x−১/x=৪ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৪²+২ = ১৮।

৪২. x−১/x=৫ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৫²+২ = ২৭।

৪৩. x−১/x=৬ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৬²+২ = ৩৮।

৪৪. x−১/x=৭ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৭²+২ = ৫১।

৪৫. x−১/x=৮ হলে x²+১/x² = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৮²+২ = ৬৬।

৪৬. x+১/x=২ হলে x³+১/x³ = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ২³−৩×২ = ২।

৪৭. x+১/x=৩ হলে x³+১/x³ = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৩³−৩×৩ = ১৮।

৪৮. x+১/x=৪ হলে x³+১/x³ = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৪³−৩×৪ = ৫২।

৪৯. x+১/x=৫ হলে x³+১/x³ = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: = ৫³−৩×৫ = ১১০।

রৈখিক সমীকরণ

৫০. ৩x + ৭ = ১৪ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩x = ৭ → x = ২.৩৩৩৩৩।

৫১. ২x + ৩ = ১১ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২x = ৮ → x = ৪।

৫২. ৫x − ২ = ১৮ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৫x = ২০ → x = ৪।

৫৩. ৪x + ১ = ১৭ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪x = ১৬ → x = ৪।

৫৪. ৭x + ০ = ২১ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৭x = ২১ → x = ৩।

৫৫. ২x − ৫ = ৭ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২x = ১২ → x = ৬।

৫৬. ৬x + ৪ = ২২ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৬x = ১৮ → x = ৩।

৫৭. ৩x + ৯ = ০ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩x = -৯ → x = -৩।

৫৮. ৫x + ৫ = ৩০ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৫x = ২৫ → x = ৫।

৫৯. ৮x − ৩ = ১৩ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৮x = ১৬ → x = ২।

৬০. ২x + ৭ = ১৯ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২x = ১২ → x = ৬।

৬১. ৯x + ১ = ২৮ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৯x = ২৭ → x = ৩।

৬২. ৪x − ৮ = ৪ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪x = ১২ → x = ৩।

৬৩. ১০x + ০ = ৫০ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ১০x = ৫০ → x = ৫।

৬৪. ৩x + ২ = ২০ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩x = ১৮ → x = ৬।

৬৫. ৬x − ৬ = ১২ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৬x = ১৮ → x = ৩।

৬৬. ৭x + ৩ = ২৪ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৭x = ২১ → x = ৩।

৬৭. ২x + ১ = ৯ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২x = ৮ → x = ৪।

৬৮. ৫x + ১০ = ৩৫ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৫x = ২৫ → x = ৫।

৬৯. ৮x + ২ = ২৬ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৮x = ২৪ → x = ৩।

৭০. ৩x + ৪ = ১৯ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৩x = ১৫ → x = ৫।

৭১. ৫x + ৩ = ২৮ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৫x = ২৫ → x = ৫।

৭২. ৪x + ৫ = ২৫ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৪x = ২০ → x = ৫।

৭৩. ৬x + ২ = ২০ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ৬x = ১৮ → x = ৩।

৭৪. ২x + ৯ = ১৫ হলে x = ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: ২x = ৬ → x = ৩।

দ্বিঘাত সমীকরণ

৭৫. x²−৫x+৬=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৫, গুণফল = ৬ (মূল ২ ও ৩)।

৭৬. x²−৫x+৪=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৫, গুণফল = ৪ (মূল ১ ও ৪)।

৭৭. x²−৭x+১০=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৭, গুণফল = ১০ (মূল ৫ ও ২)।

৭৮. x²−৬x+৯=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৬, গুণফল = ৯ (মূল ৩ ও ৩)।

৭৯. x²−৭x+৬=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৭, গুণফল = ৬ (মূল ৬ ও ১)।

৮০. x²−৭x+১০=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৭, গুণফল = ১০ (মূল ২ ও ৫)।

৮১. x²−৮x+১৬=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৮, গুণফল = ১৬ (মূল ৪ ও ৪)।

৮২. x²−৯x+১৪=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৯, গুণফল = ১৪ (মূল ৭ ও ২)।

৮৩. x²−৭x+৬=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৭, গুণফল = ৬ (মূল ১ ও ৬)।

৮৪. x²−৮x+১৫=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৮, গুণফল = ১৫ (মূল ৩ ও ৫)।

৮৫. x²−৯x+৮=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৯, গুণফল = ৮ (মূল ৮ ও ১)।

৮৬. x²−৯x+১৪=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৯, গুণফল = ১৪ (মূল ২ ও ৭)।

৮৭. x²−৯x+২০=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৯, গুণফল = ২০ (মূল ৪ ও ৫)।

৮৮. x²−১১x+১৮=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ১১, গুণফল = ১৮ (মূল ৯ ও ২)।

৮৯. x²−৯x+১৮=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৯, গুণফল = ১৮ (মূল ৩ ও ৬)।

৯০. x²−১০x+২৫=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ১০, গুণফল = ২৫ (মূল ৫ ও ৫)।

৯১. x²−১১x+১৮=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ১১, গুণফল = ১৮ (মূল ২ ও ৯)।

৯২. x²−১১x+২৮=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ১১, গুণফল = ২৮ (মূল ৪ ও ৭)।

৯৩. x²−৯x+১৮=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৯, গুণফল = ১৮ (মূল ৬ ও ৩)।

৯৪. x²−৯x+৮=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৯, গুণফল = ৮ (মূল ১ ও ৮)।

৯৫. x²−৮x+১২=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৮, গুণফল = ১২ (মূল ২ ও ৬)।

৯৬. x²−৭x+১২=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ৭, গুণফল = ১২ (মূল ৩ ও ৪)।

৯৭. x²−১১x+৩০=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ১১, গুণফল = ৩০ (মূল ৫ ও ৬)।

৯৮. x²−১০x+২১=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ১০, গুণফল = ২১ (মূল ৭ ও ৩)।

৯৯. x²−১০x+১৬=০ এর মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা: যোগফল = ১০, গুণফল = ১৬ (মূল ২ ও ৮)।