← গণিত টপিকসমূহ | সকল বিষয়ের প্রস্তুতি
অনুপাত, সমানুপাত ও গড়
এই তিনটি বিষয় একে অপরের সাথে গভীরভাবে জড়িত এবং ব্যাংকসহ সব চাকরির পরীক্ষায় প্রতিবারই আসে। অনুপাত শেখায় কীভাবে দুটি রাশিকে তুলনা করতে হয়; সমানুপাত শেখায় দুটি তুলনা সমান হলে কী ঘটে; আর গড় শেখায় অনেকগুলো মানকে একটিমাত্র প্রতিনিধি মান দিয়ে প্রকাশ করা। এই অধ্যায়ে আমরা এগুলোর সাথে মিশ্রণ-অ্যালিগেশন ও অংশীদারিও শিখব, কারণ এগুলো মূলত অনুপাত ও গড়েরই প্রয়োগ।
অনুপাত — মূল ধারণা
অনুপাত (Ratio) হলো একই জাতীয় দুটি রাশির তুলনা — একটি অন্যটির কতগুণ বা কত ভাগ। a ও b-এর অনুপাত লেখা হয় a : b (পড়া হয় "a is to b") এবং এর মান a/b।
- a-কে বলে পূর্বপদ (antecedent), b-কে উত্তরপদ (consequent)।
- অনুপাতের কোনো একক নেই — কারণ একই এককের দুটি রাশির ভাগ করলে একক কেটে যায়। তাই ৫ টাকা : ১০ টাকা = ১ : ২ (টাকা লেখা হয় না)।
- দুটি রাশি একই এককে থাকতে হবে; ১ কেজি : ৫০০ গ্রাম = ১০০০ গ্রাম : ৫০০ গ্রাম = ২ : ১।
- অনুপাতের উভয় পদকে একই অশূন্য সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অনুপাত পাল্টায় না: a : b = ma : mb।
অনুপাতের প্রকার
| প্রকার | বর্ণনা | উদাহরণ |
|---|---|---|
| লঘিষ্ঠ আকার | গ.সা.গু দিয়ে ভাগ করে সরল | ৪ : ৬ → ২ : ৩ |
| মিশ্র (Compound) | একাধিক অনুপাতের পদ গুণ | (২:৩)×(৪:৫) = ৮:১৫ |
| বর্গ / ঘন | পদের বর্গ / ঘন | ৩:৫ → ৯:২৫ বা ২৭:১২৫ |
| বর্গমূল | পদের বর্গমূল | ৯:২৫ → ৩:৫ |
| বিপরীত (Inverse) | পদ উল্টে দেওয়া | ৩:৫ → ৫:৩ |
অনুপাত নিয়ে কাজ
কাজ ১ — কোনো পরিমাণকে অনুপাতে ভাগ করা
কোনো রাশিকে a : b : c অনুপাতে ভাগ করতে হলে মোট অংশ (a+b+c) বের করে প্রতিটি ভাগ = রাশি × নিজের অংশ / মোট অংশ।
কাজ ২ — দুটি অনুপাত জোড়া লাগানো (a:b ও b:c → a:b:c)
মাঝের পদ b-কে দুই অনুপাতে সমান বানাতে হয় (ল.সা.গু নিয়ে)।
কাজ ৩ — অনুপাত ও পার্থক্য/যোগফল থেকে সংখ্যা বের করা
সমানুপাত (Proportion)
দুটি অনুপাত সমান হলে চারটি রাশি সমানুপাতিক: a : b = c : d (লেখা হয় a : b :: c : d)। এখানে a ও d কে বলে প্রান্তপদ (extremes), b ও c কে মধ্যপদ (means)।
a : b = c : d ⇒ a × d = b × c
কারণ a/b = c/d হলে আড়াআড়ি গুণ (cross-multiply) করলে ad = bc পাওয়া যায়। এই একটি সম্পর্ক থেকেই নিচের সব ধরনের "সমানুপাতী" বের হয়।- চতুর্থ সমানুপাতী (Fourth proportional): a:b = c:x হলে x = (b×c)/a।
- মধ্য সমানুপাতী (Mean proportional): a:b = b:c হলে b² = a×c, তাই b = √(ac)।
- তৃতীয় সমানুপাতী (Third proportional): a:b = b:c হলে c = b²/a।
সরল ও ব্যস্ত সমানুপাত
গড় (Average / গাণিতিক গড়)
কয়েকটি সংখ্যার গড় হলো এমন একটি মান যা প্রতিটি সংখ্যার জায়গায় বসালে যোগফল একই থাকে।
গড় = সকল সংখ্যার সমষ্টি ÷ সংখ্যার সংখ্যা
এই সম্পর্কটিই তিনভাবে ব্যবহার হয় — সমষ্টি = গড় × সংখ্যা, এবং সংখ্যা = সমষ্টি ÷ গড়। গড়ের প্রায় সব প্রশ্ন "সমষ্টি" বের করে সমাধান হয়।
বিশেষ ধারার গড়
- প্রথম n স্বাভাবিক সংখ্যার গড় = (n+১)/২।
- প্রথম n জোড় সংখ্যার গড় = (n+১)।
- প্রথম n বিজোড় সংখ্যার গড় = n।
- সমান-ব্যবধানের ধারায় (যেমন AP) গড় = (প্রথম পদ + শেষ পদ)/২।
ভারযুক্ত গড় (Weighted Average)
ভিন্ন সংখ্যক সদস্যের দুটি দলের সম্মিলিত গড় সরল গড় নয় — সদস্য-সংখ্যা দিয়ে ভার দিতে হয়:
সম্মিলিত গড় = (n₁a₁ + n₂a₂) / (n₁ + n₂)
গড়ের বিশেষ কৌশল
নতুন সদস্য যোগ (Inclusion)
প্রতিস্থাপন (Replacement)
সমদূরত্বে গড় গতিবেগ
মিশ্রণ ও অ্যালিগেশন (Mixture & Alligation)
দুটি ভিন্ন দামের (বা ভিন্ন ঘনত্বের) জিনিস মিশিয়ে একটি নির্দিষ্ট গড় দাম পেতে চাইলে কোন অনুপাতে মেশাতে হবে — তা বের করার দ্রুত নিয়ম অ্যালিগেশন।
সস্তা জিনিসের পরিমাণ / দামি জিনিসের পরিমাণ = (দামি দাম − গড় দাম) / (গড় দাম − সস্তা দাম)
অর্থাৎ প্রতিটি উপাদান গড় থেকে যত দূরে, তার বিপরীত অনুপাতে মেশাতে হয়।অংশীদারি (Partnership)
দুই বা ততোধিক ব্যক্তি একসাথে ব্যবসা করলে লাভ ভাগ হয় প্রত্যেকের মূলধন × সময় অনুপাতে — কারণ কেউ বেশি টাকা বা বেশি সময় খাটালে তার অবদানও বেশি।
- সরল অংশীদারি: সবাই সমান সময়ের জন্য বিনিয়োগ করলে লাভ কেবল মূলধন-অনুপাতে ভাগ হয়।
- যৌগিক অংশীদারি: বিনিয়োগের সময় ভিন্ন হলে লাভ = (মূলধন × সময়) অনুপাতে।
A-এর লাভ / মোট লাভ = A-এর (মূলধন×সময়) / সকলের (মূলধন×সময়)-এর সমষ্টি
ধাপে ধাপে সমাধানসহ উদাহরণ
সাধারণ ভুল ও সতর্কতা
- একক না মিলিয়ে অনুপাত করা: ১ কেজি : ৫০০ গ্রাম সরাসরি ১:৫০০ নয়; আগে একই এককে আনুন (২:১)।
- গড় গতিবেগে সরল গড় নেওয়া: সমদূরত্বে গড় গতি = 2ab/(a+b), (a+b)/2 নয়।
- ভারযুক্ত গড়ে সরল গড় নেওয়া: দুই দলের সদস্য-সংখ্যা ভিন্ন হলে গড়দের গড় নেওয়া যাবে না।
- অংশীদারিতে সময় ভুলে যাওয়া: বিনিয়োগের সময় ভিন্ন হলে লাভ মূলধন×সময় অনুপাতে, শুধু মূলধনে নয়।
- সরল বনাম ব্যস্ত ধরন ভুল: "বেশি লোক = কম সময়" ব্যস্ত সমানুপাত; ভুল ধরন উত্তর উল্টে দেয়।
- অনুপাতের পদ যোগ করা: ৩:৫ ও ৬:? মানে ৩:৫ = ৬:১০, যোগ নয়।
দ্রুত সমাধানের কৌশল
- k-পদ্ধতি: অনুপাতের সংখ্যাগুলোকে ৩k, ৫k লিখে সমীকরণ বানান — দ্রুত সমাধান।
- মোট অংশ বের করুন: কোনো পরিমাণ ভাগে (a+b+c) বের করে এক অংশের মান বের করলেই বাকিটা গুণ।
- সমষ্টি দিয়ে ভাবুন: গড়ের প্রায় সব প্রশ্নে "সমষ্টি = গড় × সংখ্যা" বসিয়ে দুই অবস্থার সমষ্টির পার্থক্য নিন।
- অ্যালিগেশন ক্রস: মিশ্রণে গড় থেকে দূরত্বের বিপরীত অনুপাতে মেশান।
- AM ≥ GM ≥ HM: সংখ্যা সমান হলেই কেবল তিনটি সমান — যাচাইয়ের কাজে লাগে।
সূত্র ও তথ্যের সারসংক্ষেপ
- অনুপাতের একক নেই; a:b = ma:mb; পদ একই এককে আনুন।
- a:b = c:d ⇒ ad = bc (প্রান্ত = মধ্য গুণফল)।
- মধ্য সমানুপাতী = √(ac); তৃতীয় = b²/a; চতুর্থ = bc/a।
- সরল: x = ky; ব্যস্ত: xy = ধ্রুবক।
- গড় = সমষ্টি/সংখ্যা; সমষ্টি = গড় × সংখ্যা।
- প্রথম n স্বাভাবিকের গড় = (n+১)/২; জোড়ের গড় = n+১; বিজোড়ের গড় = n।
- ভারযুক্ত গড় = (n₁a₁+n₂a₂)/(n₁+n₂)।
- সমদূরত্বে গড় গতি = 2ab/(a+b)।
- প্রতিস্থাপনে নতুন মান = পুরনো + n×d (d = গড়ের পরিবর্তন)।
- অ্যালিগেশন: সস্তা:দামি = (দামি−গড়):(গড়−সস্তা)।
- অংশীদারিতে লাভ = মূলধন × সময় অনুপাতে।
প্রশ্ন ও উত্তর (১০০+ MCQ)
১. ৩:৫ অনুপাতের উত্তরপদ কোনটি?
(ক) ৩ (খ) ৫ (গ) ৮ (ঘ) ১৫
উত্তর: (খ) ৫
২. ৪:৬-এর লঘিষ্ঠ আকার?
(ক) ১:২ (খ) ২:৩ (গ) ৩:৪ (ঘ) ২:৪
উত্তর: (খ) ২:৩
৩. ১২:১৮-এর লঘিষ্ঠ আকার?
(ক) ১:২ (খ) ২:৩ (গ) ৩:২ (ঘ) ৪:৬
উত্তর: (খ) ২:৩
৪. ২:৩ ও ৩:৫-এর মিশ্র অনুপাত?
(ক) ৫:৮ (খ) ২:৫ (গ) ৬:১৫ (ঘ) ১:২
উত্তর: (খ) ২:৫
(২×৩):(৩×৫)=৬:১৫=২:৫।
৫. ১:২ অনুপাতের বর্গ?
(ক) ১:৪ (খ) ১:৬ (গ) ১:৮ (ঘ) ১:১৬
উত্তর: (ক) ১:৪
৬. ৩:৫ অনুপাতের ঘন?
(ক) ২৭:৬৪ (খ) ২৭:১২৫ (গ) ৯:২৫ (ঘ) ১২৫:২৭
উত্তর: (খ) ২৭:১২৫
৭. ৯:২৫-এর বর্গমূল অনুপাত?
(ক) ৩:৫ (খ) ১:৫ (গ) ৯:২৫ (ঘ) ৫:৩
উত্তর: (ক) ৩:৫
৮. ৩:৫-এর বিপরীত অনুপাত?
(ক) ৫:৩ (খ) ৩:৫ (গ) ৬:১০ (ঘ) ৯:২৫
উত্তর: (ক) ৫:৩
৯. a:b = c:d হলে কোনটি সত্য?
(ক) ac=bd (খ) ad=bc (গ) a+c=b+d (ঘ) a−c=b−d
উত্তর: (খ) ad=bc
১০. ২:৩ = ৪:x; x =?
(ক) ৫ (খ) ৬ (গ) ৭ (ঘ) ৮
উত্তর: (খ) ৬
১১. ৩:৫ = ৬:x; x =?
(ক) ৮ (খ) ১০ (গ) ১২ (ঘ) ১৫
উত্তর: (খ) ১০
১২. ৪ ও ৯-এর মধ্য সমানুপাতী?
(ক) ৪.৫ (খ) ৫ (গ) ৬ (ঘ) ৭
উত্তর: (গ) ৬
১৩. ১৬ ও ২৫-এর মধ্য সমানুপাতী?
(ক) ১৬ (খ) ২০ (গ) ২২ (ঘ) ২৫
উত্তর: (খ) ২০
১৪. ৪ ও ১৬-এর তৃতীয় সমানুপাতী?
(ক) ৩২ (খ) ৪৮ (গ) ৬৪ (ঘ) ৯৬
উত্তর: (গ) ৬৪
১৬²/৪ = ৬৪।
১৫. ২, ৪, ৬-এর চতুর্থ সমানুপাতী?
(ক) ৮ (খ) ১০ (গ) ১২ (ঘ) ১৬
উত্তর: (গ) ১২
(৪×৬)/২ = ১২।
১৬. ৩, ১২, ১৪৪ — মধ্যপদ কত?
(ক) ৬ (খ) ১২ (গ) ২৪ (ঘ) ৩৬
উত্তর: (খ) ১২
১২² = ৩×১৪৪।
১৭. ১০ ও ৪০-এর মধ্য সমানুপাতী?
(ক) ১৫ (খ) ২০ (গ) ২৫ (ঘ) ৩০
উত্তর: (খ) ২০
১৮. ১২০ টাকা ৩:৪:৫ অনুপাতে ভাগ করলে সর্বোচ্চ অংশ?
(ক) ৪০ (খ) ৪৫ (গ) ৫০ (ঘ) ৬০
উত্তর: (গ) ৫০
১২০×৫/১২ = ৫০।
১৯. ২৪০ টাকা ৩:৫ অনুপাতে; ছোট অংশ?
(ক) ৮০ (খ) ৯০ (গ) ১০০ (ঘ) ১২০
উত্তর: (খ) ৯০
২৪০×৩/৮ = ৯০।
২০. ৩:৫ অনুপাতে দুই সংখ্যার যোগফল ৩২; ছোট সংখ্যা?
(ক) ১০ (খ) ১২ (গ) ১৪ (ঘ) ১৬
উত্তর: (খ) ১২
৩২×৩/৮ = ১২।
২১. দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৭ ও পার্থক্য ৬; সংখ্যা দুটি?
(ক) ১৫, ২১ (খ) ১০, ১৬ (গ) ২০, ২৬ (ঘ) ২৫, ৩১
উত্তর: (ক) ১৫, ২১
২k=৬ ⇒ k=৩।
২২. ব্যস্ত সমানুপাতের উদাহরণ কোনটি?
(ক) শ্রমিক-সংখ্যা ও কাজের সময় (খ) জিনিসের সংখ্যা ও দাম (গ) দূরত্ব ও ভাড়া (ঘ) সবগুলো
উত্তর: (ক)
শ্রমিক বাড়লে সময় কমে।
২৩. সরল সমানুপাতের উদাহরণ?
(ক) জিনিসের সংখ্যা ও মোট দাম (খ) শ্রমিক ও সময় (গ) গতি ও সময় (ঘ) কোনোটিই নয়
উত্তর: (ক)
২৪. ৫ জন ১০ দিনে একটি কাজ করে; ১০ জন কত দিনে?
(ক) ৫ (খ) ২০ (গ) ১৫ (ঘ) ২৫
উত্তর: (ক) ৫
ব্যস্ত: ৫×১০=১০×দিন।
২৫. ১, ২, ৩, ৪, ৫-এর গড়?
(ক) ২ (খ) ৩ (গ) ৪ (ঘ) ৫
উত্তর: (খ) ৩
২৬. ১০, ২০, ৩০-এর গড়?
(ক) ১৫ (খ) ২০ (গ) ২৫ (ঘ) ৩০
উত্তর: (খ) ২০
২৭. গড় ১২, সংখ্যা ৫; সমষ্টি কত?
(ক) ৪০ (খ) ৫০ (গ) ৬০ (ঘ) ৭০
উত্তর: (গ) ৬০
২৮. প্রথম ১০ স্বাভাবিক সংখ্যার গড়?
(ক) ৪.৫ (খ) ৫ (গ) ৫.৫ (ঘ) ৬
উত্তর: (গ) ৫.৫
(১০+১)/২।
২৯. প্রথম ৫ জোড় সংখ্যার গড়?
(ক) ৪ (খ) ৫ (গ) ৬ (ঘ) ৭
উত্তর: (গ) ৬
n+১=৬।
৩০. প্রথম ১০ বিজোড় সংখ্যার গড়?
(ক) ৯ (খ) ১০ (গ) ১১ (ঘ) ১২
উত্তর: (খ) ১০
গড় = n = ১০।
৩১. ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত গড়?
(ক) ৪৯ (খ) ৫০ (গ) ৫০.৫ (ঘ) ৫১
উত্তর: (গ) ৫০.৫
৩২. ১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যার গড়?
(ক) ৪৯ (খ) ৫০ (গ) ৫১ (ঘ) ৫২
উত্তর: (খ) ৫০
৫০টি বিজোড়, গড় = n = ৫০।
৩৩. ৬০ ও ৪০ কিমি/ঘণ্টায় সমদূরত্বে; গড় গতিবেগ?
(ক) ৪৫ (খ) ৪৮ (গ) ৫০ (ঘ) ৫৫
উত্তর: (খ) ৪৮
2×60×40/100=48।
৩৪. ৫০ ও ৩০ কিমি/ঘণ্টায় সমদূরত্বে; গড়?
(ক) ৩৫ (খ) ৩৭.৫ (গ) ৪০ (ঘ) ৪২
উত্তর: (খ) ৩৭.৫
2×50×30/80=37.5।
৩৫. ১০ ছাত্রের গড় ২০; ১১তম ছাত্র যোগ হয়ে গড় ১৯; নতুন ছাত্রের নম্বর?
(ক) ১০ (খ) ৯ (গ) ৮ (ঘ) ৫
উত্তর: (খ) ৯
১১×১৯ − ১০×২০ = ৯।
৩৬. ৬ জনের গড় বয়স ২৫; ১ জন বাদ পড়লে গড় ২৪; বাদ-পড়া ব্যক্তির বয়স?
(ক) ২৬ (খ) ২৮ (গ) ৩০ (ঘ) ৩২
উত্তর: (গ) ৩০
১৫০ − ৫×২৪ = ৩০।
৩৭. ৫ জনের গড় ২০; একজন প্রতিস্থাপিত হয়ে গড় ২২; নতুন − পুরনো?
(ক) ৮ (খ) ১০ (গ) ১২ (ঘ) ১৪
উত্তর: (খ) ১০
n×d = ৫×২ = ১০।
৩৮. A:B=৩:৪, B:C=৫:৬; A:B:C?
(ক) ১৫:২০:২৪ (খ) ৩:৪:৫ (গ) ৩:৫:৬ (ঘ) ৬:১০:১২
উত্তর: (ক) ১৫:২০:২৪
৩৯. A:B=২:৩, A=৪০; B?
(ক) ৪৫ (খ) ৫০ (গ) ৬০ (ঘ) ৮০
উত্তর: (গ) ৬০
৪০. ৩৫ টাকা ২:৫ অনুপাতে; ছোট অংশ?
(ক) ১০ (খ) ১২ (গ) ১৪ (ঘ) ১৫
উত্তর: (ক) ১০
৩৫×২/৭=১০।
৪১. দুটি বিনিয়োগ ৩:৫; মোট লাভ ৪৮০০; কম বিনিয়োগকারীর লাভ?
(ক) ১২০০ (খ) ১৮০০ (গ) ২৪০০ (ঘ) ৩০০০
উত্তর: (খ) ১৮০০
৪৮০০×৩/৮।
৪২. A=২০০০ (১ বছর), B=৩০০০ (১ বছর); লাভ-অনুপাত?
(ক) ২:৩ (খ) ৩:২ (গ) ১:১ (ঘ) ৫:৩
উত্তর: (ক) ২:৩
৪৩. A=১২০০×৬, B=১৫০০×৪; লাভ-অনুপাত?
(ক) ৬:৫ (খ) ৭:৫ (গ) ৫:৬ (ঘ) ১:১
উত্তর: (ক) ৬:৫
৭২০০:৬০০০=৬:৫।
৪৪. ৫টি সংখ্যার গড় ১২; প্রথম ২টির গড় ৮; বাকি ৩টির গড়?
(ক) ১২ (খ) ১৪ (গ) ১৪.৬৭ (ঘ) ১৬
উত্তর: (গ) ১৪.৬৭
(৫×১২ − ২×৮)/৩ = ৪৪/৩ ≈ ১৪.৬৭।
৪৫. ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০-এর গড়?
(ক) ১৪ (খ) ১৬ (গ) ১৮ (ঘ) ২০
উত্তর: (খ) ১৬
৪৬. ১২ ছাত্রের গড় বয়স ১৫; শিক্ষক যোগ হয়ে গড় ১৬; শিক্ষকের বয়স?
(ক) ২৬ (খ) ২৮ (গ) ২৭ (ঘ) ৩০
উত্তর: (খ) ২৮
১৩×১৬ − ১২×১৫ = ২৮।
৪৭. ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫-এর গড়?
(ক) ৭ (খ) ৮ (গ) ৯ (ঘ) ১০
উত্তর: (গ) ৯
৪৮. ৫ থেকে ১৫ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার গড়?
(ক) ৯ (খ) ১০ (গ) ১১ (ঘ) ১২
উত্তর: (খ) ১০
(৫+১৫)/২।
৪৯. ৩ সংখ্যার গড় ১৮; ২টি = ১৫, ২০; ৩য়টি?
(ক) ১৫ (খ) ১৭ (গ) ১৯ (ঘ) ২১
উত্তর: (গ) ১৯
৫৪ − ৩৫ = ১৯।
৫০. ৭ সংখ্যার গড় ১০; ৩টির গড় ৮; বাকি ৪টির গড়?
(ক) ১০.৫ (খ) ১১.৫ (গ) ১২ (ঘ) ১৩
উত্তর: (খ) ১১.৫
(৭০ − ২৪)/৪।
৫১. ১০, ২০, ৩০, ৪০-এর গড়?
(ক) ২০ (খ) ২৫ (গ) ৩০ (ঘ) ৩৫
উত্তর: (খ) ২৫
৫২. AP-এর গড় = (প্রথম + শেষ)/২ — সঠিক?
(ক) সঠিক (খ) ভুল (গ) আংশিক (ঘ) কোনোটিই নয়
উত্তর: (ক) সঠিক
৫৩. ২০ জন ছেলের গড় ৬০, ৩০ জন মেয়ের গড় ৭০; সম্মিলিত গড়?
(ক) ৬৫ (খ) ৬৬ (গ) ৬৭ (ঘ) ৬৮
উত্তর: (খ) ৬৬
(১২০০+২১০০)/৫০ = ৬৬।
৫৪. ৪ ও ৯-এর GM?
(ক) ৫ (খ) ৬ (গ) ৭ (ঘ) ৬.৫
উত্তর: (খ) ৬
৫৫. ৪ ও ৯-এর AM?
(ক) ৫.৫ (খ) ৬ (গ) ৬.৫ (ঘ) ৭
উত্তর: (গ) ৬.৫
৫৬. ২, ৪, ৮-এর GM?
(ক) ৪ (খ) ৫ (গ) ৬ (ঘ) ৮
উত্তর: (ক) ৪
(২×৪×৮)^(১/৩)=৪।
৫৭. ২ ও ৮-এর HM?
(ক) ৩.২ (খ) ৪ (গ) ৫ (ঘ) ৬
উত্তর: (ক) ৩.২
2×2×8/(2+8)=3.2।
৫৮. AM ≥ GM ≥ HM — সঠিক?
(ক) সঠিক (খ) ভুল (গ) আংশিক (ঘ) কোনোটিই নয়
উত্তর: (ক) সঠিক
৫৯. A=৪০০০×৬, B=৩০০০×৮; লাভ ১৪০০; A-এর অংশ?
(ক) ৬০০ (খ) ৭০০ (গ) ৮০০ (ঘ) ৯০০
উত্তর: (খ) ৭০০
২৪০০০:২৪০০০=১:১।
৬০. A=২৫০০×১২, B=৩৫০০×৮; লাভ-অনুপাত?
(ক) ৩০:২৮ (খ) ১৫:১৪ (গ) ১৪:১৫ (ঘ) ১:১
উত্তর: (খ) ১৫:১৪
৩০০০০:২৮০০০।
৬১. ৫০, ৬০, ৭০, ৮০, ৯০-এর গড়?
(ক) ৬০ (খ) ৭০ (গ) ৭৫ (ঘ) ৮০
উত্তর: (খ) ৭০
৬২. ২ থেকে ১০ এর জোড় সংখ্যার গড়?
(ক) ৫ (খ) ৬ (গ) ৭ (ঘ) ৮
উত্তর: (খ) ৬
(২+১০)/২।
৬৩. ১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার গড়?
(ক) ৭.৫ (খ) ৮.৫ (গ) ৯.৬২ (ঘ) ১০.৭৫
উত্তর: (গ) ৯.৬২
৭৭/৮ = ৯.৬২৫।
৬৪. ৩টি সংখ্যা ১:২:৩ অনুপাতে; গড় ১২; বৃহত্তম?
(ক) ১২ (খ) ১৬ (গ) ১৮ (ঘ) ২৪
উত্তর: (গ) ১৮
সমষ্টি ৩৬; ৩৬×৩/৬=১৮।
৬৫. দুটি সংখ্যার গড় ২৫; অনুপাত ২:৩; বড় সংখ্যা?
(ক) ১৫ (খ) ২৫ (গ) ৩০ (ঘ) ৪০
উত্তর: (গ) ৩০
সমষ্টি ৫০; ৫০×৩/৫=৩০।
৬৬. ছয়টি ক্রমিক সংখ্যার গড় ১২.৫; ক্ষুদ্রতম?
(ক) ৯ (খ) ১০ (গ) ১১ (ঘ) ১৫
উত্তর: (খ) ১০
১০,১১,১২,১৩,১৪,১৫ এর গড় ১২.৫।
৬৭. ৩০ ও ৪৫ কিমি/ঘণ্টায় সমদূরত্বে; গড় গতিবেগ?
(ক) ৩৬ (খ) ৩৭.৫ (গ) ৪০ (ঘ) ৪২
উত্তর: (ক) ৩৬
2×30×45/75=36।
৬৮. ৪ জনের গড় বয়স ২২; নতুন ১ জন যোগ হয়ে গড় ২৩; নতুনের বয়স?
(ক) ২৫ (খ) ২৬ (গ) ২৭ (ঘ) ২৮
উত্তর: (গ) ২৭
৫×২৩ − ৪×২২ = ২৭।
৬৯. ১০ জনের গড় উচ্চতা ১৬০; একজন প্রতিস্থাপিত হয়ে গড় ১৬২; নতুন − পুরনো?
(ক) ১৫ (খ) ২০ (গ) ২৫ (ঘ) ৩০
উত্তর: (খ) ২০ সেমি
১০×২।
৭০. ১২ জনের গড় বয়স ২২; ২ জন যোগ হয়ে গড় ২৪; নতুন ২ জনের গড়?
(ক) ৩০ (খ) ৩৬ (গ) ৪০ (ঘ) ৪৫
উত্তর: (খ) ৩৬
(১৪×২৪ − ১২×২২)/২ = ৩৬।
৭১. ৩০ টাকা ও ৪০ টাকা কেজি চাল মিশিয়ে ৩৬ টাকা; অনুপাত?
(ক) ২:৩ (খ) ৩:২ (গ) ৪:৬ (ঘ) ১:১
উত্তর: (ক) ২:৩
(৪০−৩৬):(৩৬−৩০)=৪:৬=২:৩।
৭২. ১:২:৩ অনুপাতে ১২০ টাকা; মধ্যম অংশ?
(ক) ৩০ (খ) ৪০ (গ) ৬০ (ঘ) ৮০
উত্তর: (খ) ৪০
৭৩. A=১/২, B=১/৩, C=১/৬; অনুপাত?
(ক) ৩:২:১ (খ) ১:২:৩ (গ) ২:৩:৬ (ঘ) ৬:৪:১
উত্তর: (ক) ৩:২:১
৬ দিয়ে গুণ: ৩:২:১।
৭৪. ৩ জন ৬ দিনে একটি কাজ করে; ২ জন কত দিনে?
(ক) ৪ (খ) ৬ (গ) ৯ (ঘ) ১২
উত্তর: (গ) ৯
৩×৬=২×দিন।
৭৫. ৫ জন ১০ দিনে ৫০টি জিনিস বানায়; ১০ জন ৫ দিনে কতটি?
(ক) ২৫ (খ) ৫০ (গ) ১০০ (ঘ) ৭৫
উত্তর: (খ) ৫০
লোক×দিন একই (৫০), তাই উৎপাদনও একই।
৭৬. ৩টি সংখ্যার গড় ২০; ২টি = ২৫, ১৫; ৩য়টি?
(ক) ২০ (খ) ২৫ (গ) ১০ (ঘ) ১৫
উত্তর: (ক) ২০
৬০ − ৪০ = ২০।
৭৭. ৬ ছাত্রের গড় ১৮; ৩ জন যোগ হয়ে গড় ১৭; নতুন ৩ জনের গড়?
(ক) ১৪ (খ) ১৫ (গ) ১৬ (ঘ) ১৭
উত্তর: (খ) ১৫
(৯×১৭ − ৬×১৮)/৩ = ১৫।
৭৮. দুটি সংখ্যার অনুপাত ২:১; ছোটটি ৪; বড়টি?
(ক) ৪ (খ) ৬ (গ) ৮ (ঘ) ১০
উত্তর: (গ) ৮
৭৯. ৩ সংখ্যা ১:২:৩ অনুপাতে; সমষ্টি ১৮০; মধ্যম সংখ্যা?
(ক) ৩০ (খ) ৪০ (গ) ৬০ (ঘ) ৯০
উত্তর: (গ) ৬০
১৮০×২/৬।
৮০. A=৫০০, B=৪০০ (সমান সময়); লাভ ৯০০; A-এর অংশ?
(ক) ৪০০ (খ) ৪৫০ (গ) ৫০০ (ঘ) ৫৪০
উত্তর: (গ) ৫০০
৫:৪; ৯০০×৫/৯=৫০০।
৮১. A=৫০০×১২, B=৪০০×৬; লাভ-অনুপাত?
(ক) ৫:২ (খ) ৫:৪ (গ) ৩:২ (ঘ) ২:১
উত্তর: (ক) ৫:২
৬০০০:২৪০০=৫:২।
৮২. গাণিতিক গড় (Mean) কী?
(ক) সাধারণ গড় (খ) মধ্যম মান (গ) সংখ্যাগরিষ্ঠ মান (ঘ) সর্বোচ্চ
উত্তর: (ক)
৮৩. মধ্যক (Median) মানে?
(ক) গড় (খ) মধ্যম মান (গ) সংখ্যাগরিষ্ঠ (ঘ) যোগফল
উত্তর: (খ) মধ্যম মান
৮৪. প্রচুরক (Mode) মানে?
(ক) গড় (খ) মধ্যম (গ) সবচেয়ে বেশিবার আসা মান (ঘ) সর্বোচ্চ
উত্তর: (গ)
৮৫. ২, ২, ৩, ৪, ৫-এর প্রচুরক?
(ক) ২ (খ) ৩ (গ) ৪ (ঘ) ৫
উত্তর: (ক) ২
৮৬. ১, ২, ৩, ৪, ৫-এর মধ্যক?
(ক) ২ (খ) ৩ (গ) ৪ (ঘ) ৫
উত্তর: (খ) ৩
৮৭. ১, ২, ৩, ৪-এর মধ্যক?
(ক) ২ (খ) ২.৫ (গ) ৩ (ঘ) ৩.৫
উত্তর: (খ) ২.৫
মধ্যবর্তী দুটির গড় (২+৩)/২।
৮৮. দুটি সংখ্যা ৩:৪ অনুপাতে; বড়টি ১৬; ছোটটি?
(ক) ১০ (খ) ১২ (গ) ১৪ (ঘ) ১৫
উত্তর: (খ) ১২
৮৯. সরল সমানুপাতের সূত্র?
(ক) y=k/x (খ) y=kx (গ) y+x=k (ঘ) y−x=k
উত্তর: (খ) y=kx
৯০. ব্যস্ত সমানুপাতের সূত্র?
(ক) y=kx (খ) y=k/x (গ) y+x=k (ঘ) y²=kx
উত্তর: (খ) y=k/x
৯১. ৫ জন ৫ দিনে ৫টি কাজ; ১০ জন ১০ দিনে কতটি?
(ক) ১০ (খ) ২০ (গ) ৫০ (ঘ) ১০০
উত্তর: (খ) ২০
প্রতি জন প্রতিদিন ০.২ কাজ; ১০×১০×০.২=২০।
৯২. দুটি সংখ্যা ৪:৫ অনুপাতে ও ল.সা.গু ৬০; সংখ্যা দুটি?
(ক) ১২, ১৫ (খ) ১৬, ২০ (গ) ২০, ২৫ (ঘ) ৩, ৪
উত্তর: (ক) ১২, ১৫
৪k, ৫k; ল.সা.গু ২০k=৬০ ⇒ k=৩।
৯৩. বৃদ্ধ ও যুবকের অনুপাত ১:৪; মোট ১৫০; যুবক?
(ক) ৩০ (খ) ৬০ (গ) ১০০ (ঘ) ১২০
উত্তর: (ঘ) ১২০
১৫০×৪/৫।
৯৪. ছাত্র ও ছাত্রী ৩:২; ছাত্রী ১২০; মোট?
(ক) ২০০ (খ) ২৪০ (গ) ৩০০ (ঘ) ৩৬০
উত্তর: (গ) ৩০০
এক অংশ=৬০; মোট ৫ অংশ=৩০০।
৯৫. ১৫ জনের গড় বয়স ২০; ১ জন বাদ পড়ে গড় ১৯; বাদ-পড়াটির বয়স?
(ক) ২৬ (খ) ৩০ (গ) ৩৪ (ঘ) ৩৬
উত্তর: (গ) ৩৪
১৫×২০ − ১৪×১৯ = ৩৪।
৯৬. ৪ জনের গড় বয়স ১৫; ৫ম জন যোগ হয়ে গড় ১৬; ৫ম জনের বয়স?
(ক) ১৭ (খ) ১৮ (গ) ১৯ (ঘ) ২০
উত্তর: (ঘ) ২০
৫×১৬ − ৪×১৫ = ২০।
৯৭. ২, ৩, ৪, ৫, ৬-এর AM ও GM তুলনা?
(ক) AM=GM (খ) AM>GM (গ) AM<GM (ঘ) নির্ণয় অসম্ভব
উত্তর: (খ) AM>GM
AM=৪, GM≈৩.৭।
৯৮. ৪ ও ৯-এর AM ও GM?
(ক) ৬.৫, ৬ (খ) ৬, ৬ (গ) ৫.৫, ৬ (ঘ) ৭, ৬
উত্তর: (ক) ৬.৫, ৬
৯৯. প্রথম ৫ মৌলিক সংখ্যার গড়?
(ক) ৫ (খ) ৫.৬ (গ) ৬ (ঘ) ৭
উত্তর: (খ) ৫.৬
(২+৩+৫+৭+১১)/৫ = ২৮/৫।
১০০. ১২ ও ১৮-এর HM?
(ক) ১৩ (খ) ১৪.৪ (গ) ১৫ (ঘ) ১৬
উত্তর: (খ) ১৪.৪
2×12×18/30=14.4।
১০১. ৪ ও ৬-এর AM − HM?
(ক) ০.১ (খ) ০.২ (গ) ০.৫ (ঘ) ১
উত্তর: (খ) ০.২
AM=৫, HM=৪.৮, পার্থক্য ০.২।
১০২. দুজনের আয় ৩:২, ব্যয় ৫:৩; প্রত্যেকে ২০০ সঞ্চয় করে; দ্বিতীয় জনের আয়?
(ক) ৬০০ (খ) ৮০০ (গ) ১০০০ (ঘ) ১২০০
উত্তর: (খ) ৮০০
৩x−৫y=২০০, ২x−৩y=২০০ ⇒ x=৪০০, y=২০০; ২য় আয়=২x=৮০০।
১০৩. ১১ জনের গড় বয়স ২৫; অধিনায়ক বাদ পড়ে গড় ২৪; অধিনায়কের বয়স?
(ক) ৩০ (খ) ৩২ (গ) ৩৫ (ঘ) ৩৬
উত্তর: (গ) ৩৫
১১×২৫ − ১০×২৪ = ৩৫।
১০৪. অংশীদারিতে সময় ভিন্ন হলে লাভ ভাগ হয় কীসের অনুপাতে?
(ক) শুধু মূলধন (খ) শুধু সময় (গ) মূলধন × সময় (ঘ) সমানভাবে
উত্তর: (গ) মূলধন × সময়
১০৫. ৩:৪ = ৬:x; x =?
(ক) ৭ (খ) ৮ (গ) ৯ (ঘ) ১০
উত্তর: (খ) ৮